Презентация, доклад по теме Тригонометрические функции

сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Промежутки монотонности.
7. Промежутки знакопостоянства.
8. Наибольшее и наименьшее значения.

R.
E(у) = [- 1 ; 1]
Функция периодическая; Т = 2π
Функция нечетная
5. sin x = 0 при х = πn, nZ.
Функция возрастает на
[- π /2 + 2πn; π /2 + 2πn], nZ ,
убывает на
[ π /2 + 2πn; 3π /2 + 2πn], nZ.

7. sin x > 0
при 2πn < x < π+ 2πn, nZ;
sin x < 0
при π + 2πn < x < 2π+ 2πn, nZ .
8. Наибольшее значение функции у = 1;
наименьшее значение функции у = -1.

у

1
-π/2 π 2π 3π х
-π 0 π/2 3π/2 5π/2
-1

E(у) = [- 1 ; 1]
Функция периодическая; Т = 2π
Функция четная.
5. cos x = 0 при х = π /2 + πn, nZ , nZ.
6. Функция возрастает на
[ π+ 2πn; 2π+ 2πn], nZ,
убывает на
[ 2πn; π+ 2πn], nZ.

7. cos x > 0
при - π /2 + 2πn < x < π /2 + 2πn, nZ;
cos x < 0
при π /2 + 2πn < x < 3π /2 + 2πn, nZ
8. Наибольшее значение функции у = 1;
наименьшее значение функции у = -1.

у

1
-π/2 π 2π 3π х
-π 0 π/2 3π/2 5π/2
-1

(- π /2 + πn; π /2 + πn) ; nZ.
E(у) = R.
Функция периодическая; T = π.
Функция нечетная.
5. tg x = 0 при х = πn, nZ.

Функция возрастает на
(- π /2 + πn; π /2 + πn), nZ
tg x > 0
при πn < x < π /2 + πn, nZ;
tg x < 0
при - π /2 + πn < x < πn, nZ .
Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений.
Прямые π /2 + πn , nZ, являются асимптотами графика функции.

( πn; π+ πn ) , nZ.
E(у) = R
Функция периодическая; Т = π.
4. Функция нечетная.
ctg x = 0 при х = π /2 + πn, nZ .
Функция убывает на
(πn; π+ πn), nZ .
ctg x > 0
при πn < x < π /2 + πn, nZ;
ctg x < 0
при π /2 + πn < x < π + πn, nZ.
Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений.
Прямые πn, nZ, являются асимптотами графика функции.

(-x)  D(y).
2) y(-x) = sin (-x) = - sin x = - y(x).
y = cos x . Функция четная.
1) (-x)  D(y).
2) y(-x) = cos (-x) = cos x = y(x).
y= tg x. Функция нечетная.
1) (-x)  D(y).
2) y(-x) = tg (-x) = - tg x = - y(x).
y= ctg x. Функция нечетная.
1) (-x)  D(y).
2) y(-x) = ctg (-x) = - ctg x = - y(x).

[ π+ 2πn; 2π+ 2πn], nZ,
убывает на [ 2πn; π+ 2πn], nZ.
Доказательство. 1) При повороте
точки (1; 0) вокруг начала координат против
часовой стрелки на угол от 0 до π π (1; 0) 0
абсцисса точки, т.е cos x, -1 1
уменьшается от 1 до -1. Поэтому если
0 ≤ Х1 < Х2 ≤ π то cos Х1> cos Х2.
Это означает, что функция y = cos x убывает на [ 0; π].
2) Функция y = cos x возрастает на [ -π; 0], т.к. она убывает на
[0; π] и является четной.
3) Т.к. функция периодическая с периодом Т = 2π, то она возрастает на [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], nZ, убывает на [ 2πn; π+ 2πn], nZ.

[- π /2 + 2πn; π /2 + 2πn], nZ ,
убывает на [ π /2 + 2πn; 3π /2 + 2πn], nZ.
Доказательство. 1) При повороте 1 π /2
точки вокруг начала координат против
часовой стрелки на угол от - π /2
до π /2 ордината точки, т.е sin x,
увеличивается от -1 до 1. Поэтому если
- π /2 ≤ Х1 < Х2 ≤ π /2 , то sin Х1< sin Х2. -1 - π /2
Это означает, что функция y = sin x возрастает на
[- π /2 ; π /2 ]. 2) Т.к. функция периодическая с периодом Т = 2π, то она возрастает на [- π /2 + 2πn; π /2 + 2πn], nZ .
Убывание функции на [ π /2 + 2πn; 3π /2 + 2πn], nZ,
доказывается аналогично.

tg x > 0 при πn < x < π /2 + πn, nZ; — +
tg x < 0 при - π /2 + πn < x < πn, nZ .

+ —
y = ctg x
ctg x > 0 при πn < x < π /2 + πn, nZ;
ctg x < 0 при π /2 + πn < x < π + πn, nZ.

+ +
sin x > 0 при 2πn < x < π+ 2πn, nZ;
sin x < 0 при π + 2πn < x < 2π+ 2πn, nZ . _ _

y = cos x.
cos x > 0 при - π /2 + 2πn < x < π /2 + 2πn, nZ; _ +
cos x < 0 при π /2 + 2πn < x < 3π /2 + 2πn, nZ.

− +