Презентация, доклад по теме Арифметическая прогрессия

важной числовой последовательности, которой дали свое название – арифметическая прогрессия.
Так что же такое арифметическая прогрессия?
Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется арифметической прогрессией.
Арифметическая прогрессия – рекуррентно заданная числовая прогрессия.
Давайте запишем рекуррентную форму:



Число d – разность прогрессии.
а и d – определенные заданные числа.

которой а=3 d=-3.

Пример. 5,5,5,5,5…
Арифметическая прогрессия у которой а=5 d=0.

больше нуля то последовательность возрастающая, если разность прогрессии меньше нуля то последовательность убывающая.

Если в арифметической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной арифметической прогрессией.

Если задана последовательность и она является арифметической прогрессией. То принято обозначать:

задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:







Мы легко замечаем закономерность:



Наша формула называется – формулой n-ого члена арифметической прогрессии.

формулу для каждого из примеров.

Пример. 1,4,7,10,13,16…
Арифметическая прогрессия у которой а=1 d=3.




Пример. 3,0,-3,-6,-9…
Арифметическая прогрессия у которой а=3 d=-3

второй член в частном остается 7, а при делении девятого члена на пятый в частном получается 2, а в остатке 5. Найти тридцатый член прогрессии.
Решение.
Запишем последовательно формулы 2,5 и 9 членов нашей прогрессии.

Так же из условия знаем:

Или:


Составим систему уравнений:

Решив систему получаем:

Найдем

конечная арифметическая прогрессия. Возникает вопрос, а можно ли посчитать сумму всех ее членов?
Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.
Пусть дана конечная арифметическая прогрессия:



Введем обозначение суммы ее членов:

сумма.
Пусть нам дана арифметическая прогрессия 1,2,3,4,5…100
Сумма ее членов тогда представим вот так:




Но схожая формула применима для любой арифметической прогрессии:


Давайте запишем нашу формулу в общем случае:

членов арифметической прогрессии, запишем два раза формулу в разных порядках:



Сложим между собой эти формулы:


В правой части нашего равенства n слагаемых, и мы знаем что каждый из них равен
Тогда:



Так же нашу формулу можно переписать в виде:
Так как

Чаще всего удобнее пользоваться именно этой формулой, поэтому хорошо бы ее запомнить!

Воспользуемся второй формулой суммы



б) В этом примере воспользуемся первой формулой:

нашей прогрессии представляют собой:


Давайте найдем номер последнего члена прогрессии:




Теперь найдем сумму:

за первый час они прошли 500м, после они стали проходить на 25 метров меньше. За сколько часов они пройдут 2975 метров.
Решение.
Путь, пройденный за каждый час можно представить в виде арифметической прогрессии:
Разность арифметической прогрессии d=-25
Путь, пройденный в 2975 метров представляет собой сумму арифметической прогрессии.

Тогда:


Разделим обе части на 25


Очевидно, что логичнее выбрать n=7.
Ответ. Ребята были в пути 7 часов.

дана арифметическая прогрессия, давайте рассмотрим три произвольных последовательных члена прогрессии:

Мы знаем что:


Давайте сложим наши выражения:






Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов кроме первого и последнего.

последовательности, но известно что:



Тогда можно смело говорить, что это арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность является арифметической прогрессией только когда каждый член этой прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов нашей прогрессии. (не забываем, что для конечной прогрессии не выполняется для первого и последнего)

–три последовательных члена арифметической прогрессии.
Решение. Воспользуемся нашей формулой










Проверим, наши выражения примут вид:-2,2;-2,4;-2,6
Очевидно, что это члены арифметической прогрессии и d=-0.2
 

38;30;22…
2. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии 10,21,32…
3.
4.
5. Найдите сумму первых семнадцати членов арифметической прогрессии 3;12;21…
6. Ребята отправились в поход на велосипедах, известно, что за первый час они проехали 400м, после они стали проезжать на 30 метров больше. За сколько часов они проедут 2850 метров.
7. Найти такие х, что 2х-1;3x+1;5x-7 –три последовательных члена арифметической прогрессии.