Презентация, доклад по математике Тригонометрические уравнения

методах их решения.
Углубить знания по теме.
Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

для следующих выражений

arcsin 0,

arcsin

5)

.

помощью графика





Ответ : а) б)

-1)k

+ πk, k ϵ Z .

ответьте, какими методами нужно решать данные тригонометрические уравнения?
а) sin 2x – cos x = 0
б) 2sin²x - 5sinx = -3
в) cos²x – sin²x = sinx – cosx
г) sin2 x – 3sinx cosx + 2cos²x = 0
3.Решите простейшие тригонометрические уравнения

х = t, sin х = t.
A sin2 x + B cosx + C = 0
A cos2 x + В sinx + C = 0
Решаются методом введения новой переменной.

2.Однородные уравнения первой и второй степени.
I степени. A sinx + B cosx = 0 : cosx
A tg x + B = 0
II степени. A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0 : cos2x
A tg2 x + B tgx + C = 0
Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

3. Уравнение вида:
А sinx + B cosx = C. А, В, С ≠ 0
Применимы все методы.

C,
где A, B, C – данные числа и AB ≠ 0. Так как A² + В²>0, то, разделив обе части данного уравнения на число
перепишем уравнение в виде
аsinx + bcosx = c, где
Так как а²+в² = 1, то можно подобрать такой угол α, что
а = sinα и b = cosα.Уравнение можно записать в виде cosx·cosα + sinx·sinα = c или в виде cos(x – α) = c.
Если подобрать такой угол β, что a = cosβ и b = sinβ, то уравнение можно записать в виде
Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

Разделив обе части уравнения на число
перепишем его в виде


Так как то уравнение можно записать в виде
все решения которого, а значит, и данного уравнения, задаются формулами

откуда получаем

≠ π + 2πn; Проверка обязательна!

Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

(универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

возводим в четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Проблемы ,возникающие при решении
тригонометрических уравнений

а sin x + в cos x = с.
Если а=в=0, а с не равно 0, то уравнение теряет смысл;
Если а=в=с=0, то х – любое действительное число, то есть уравнение обращается в тождество.
Рассмотрим случаи, когда а,в,с не равны 0.
Примеры:



3 sin 5x - 4 cos 5x = 2

2 sin 3x + 5 cos 3x = 8.
Последнее уравнение не имеет решений, так как левая часть его не превосходит 7. Уравнения, этого вида можно решить многими способами: с помощью универсальной подстановки, выразив sin x и cos x через tgх ; сведением уравнения к однородному; введением вспомогательного аргумента и другими.
Решение этих уравнений существует при

, (1)

где , , , которое можно решить другим способом.
Разделим обе части этого уравнения на :

. (2)
Введем вспомогательный аргумент , такой, что

.
Такое число существует, так как

.

Таким образом, уравнение можно записать в виде




.

Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.

.

Используя формулы sin x = 2 sin cos , cos x = cos2 - sin2 и

записывая правую часть уравнения в виде ,

получаем

Поделив это уравнение на ,

получим равносильное уравнение

Обозначая , получаем , откуда .

1)

2)


Ответ: