Презентация, доклад по математике Теорема Пика

гимназия-интернат»
Клевцова С.В.

был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место на кафедре физики в Пражском университете. В 1882 году написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Работы
Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

которых дан многоугольник, построенный на клеточной бумаге, и поставлен вопрос о нахождении его площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

Площади типовых многоугольников, таких как параллелепипед, трапеция и треугольник, легко найти через соответствующие формулы площадей фигур. Но что делать, если у представленной фигуры нет специальной формулы нахождения площади? В таком случае уместно использование формулы Пика для нахождения площади многоугольника.

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника
*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Формула Пика

квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем    и .
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b . Имеем в этом случае  
и, по формуле Пика, 
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами  и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек.
Тогда для этого случая
и получаем, что 






 

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.
Пусть многоугольник M и треугольник T  имеют общую сторону. Предположим, что для M формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из M добавлением T. Так как M и T имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через  и получим
  — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,
 — число граничных точек нового многоугольника.
Из этих равенств получаем

Так как мы предположили, что теорема верна для M и для T по отдельности, то

Тем самым, формула Пика доказана.

Теорема Пика доказана.

узлы:

M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5