Презентация, доклад по математике Теорема о неявной функции в решении задач с параметрами

о неявной функции

жара сконцентрированной в них мысли.
А.Д. Александров

Теорема о неявной функции

некоторого множества поставлено в соответствие некоторое число у, такое что F(x; y) = 0. Такой способ задания называется неявным способом задания функции у = f(x), а сама эта функция – неявной функцией.
Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем:
Если функция F: R×R→R непрерывна в некоторой окрестности точки (x0,y0) F(x0,y0)=0  и при фиксированном x, функция F(x,y) строго
монотонна по y в данной окрестности,
тогда найдётся такой двумерный промежуток I=Ix×Iy  , являющийся окрестностью точки (x0,y0 )и такая непрерывная функцияf: Ix→Iy  , что для любой точки (x,y)∈I,F(x,y)=0 ↔y=f(x).

Теорема о неявной функции

Освоение новых знаний

монотонна достаточно, чтобы ее производная по x не равнялась нулю.

Пример 1. Решить уравнение ax2+(a+1)x+1=0

Практикум

ax2+(a+1)x+1=0
D=a2+2a+1-4a=a2-2a+1=(a-1)2

Ответ: x1=-1,x2=-1/a

Теорема о неявной функции

f '(a,x)=2ax+a+1, то есть в окрестности точки (0;0) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a).

Т.е. в окрестности точки(0;0) исходное уравнение имеет корни: x1=-1,x2=-1/a. Т.к функция f(a,x) непрерывна на всей вещественной оси, то решения x1=-1,x2=-1/a будут решениями уравнения в любой точке.

непрерывна как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по не равнялась нулю.

то есть в окрестности точки (0,0) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a).

22x-(2a+1) 2x+a2+a=0, Пусть 2x=t, t>0, тогда

Теорема о неявной функции

.

как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по x не равнялась нулю.
f '(a,x)=a cosx; x≠π/2+πn, n∈Z, a∈R, то есть в окрестности точки (0,1) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a).





Ответ:

Проверка полученных результатов

Решить уравнение a sin x=1

Теорема о неявной функции

познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.
Аристотель

Получили ли вы наслаждение на уроке?

Теорема о неявной функции