Презентация, доклад по математике Свойства углов и отрезков

Из треугольника АВS: BAS=180°-110°-40°=30°

BAS= BDC=30°, так как
Углы опираются на одну
дугу.

Задача

Решение

Обозначим градусную меру угла АСВ за x, тогда  AOD = x+20°
Так как центральный угол вдвое больше соответствующего вписанного угла, то составим уравнение: 2x=x+20 , откуда 
x = 20°

Угол  AOC – соответствующий центральный для вписанного угла  в  30°.
Значит, по свойству вписанных углов, AOC=60°. 
Тогда треугольник AOC – не просто равнобедренный, но  и равносторонний A= C=(180°-60°)/2.
А значит, AC=AO=OC=43

Решение

Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 11:61. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Задача

Решение

Задача

Хорда AB стягивает дугу окружности в 82˚. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Так как ВС и АС касательные, то по свойству касательной:
OBC= OAC=900
Известно, что сумма углов в четырёхугольнике равна  3600.
В четырёхугольнике ОАСВ нам известны три угла, можем найти четвёртый:
OBC+ OAC+ ACB+ AOB=3600 
900 + 900 + ACB +620 =3600 
ACB = 1180 

Решение

Раз дуга  AB, заключенная внутри угла  C, равна 67˚, то центральный угол AOB, на нее опирающийся, равен также 67˚.
А поскольку OAC=90˚  (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), то в  треугольнике ACO  нам известны два угла.
ACO=180 ˚-90 ˚-67 ˚=23 ˚

Решение

Задача

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 136˚. Ответ дайте в градусах.

Решение

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая АО. Найдите радиус окружности, если AB=15, АО=17.

Задача

Доказательство
Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB.
Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90° Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2. угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2 то есть равен половине угловой величины дуги ВА.
Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.

Теорема вторая

Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.