Презентация, доклад по математике Решение систем уравнений с двумя и более переменными.

в тетради и готовимся их задать.

+ у = 5 – уравнение с двумя переменными, х + у = z – уравнение с тремя переменными и т. д.
Решением уравнения с двумя и более переменными называют упорядоченную пару или более значений переменных, обращающих это уравнение в истинное числовое равенство.

ставится задача найти пересечение множеств решений заданных уравнений.
Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

25,
2х – у = 4; х + 7у = 25;

в) х + у + z = -2,
х – у + 2z = -7,
2х + 3у – z = 1.

упорядоченную пару ( множество пар ) чисел, являющуюся решением каждого из уравнений, входящих в систему.

а) является упорядоченная пара ( 3; 2 ); решением системы б) - упорядоченная пара ( 4; 3 ); решением системы в) – упорядоченная тройка чисел ( -3; 2; -1 ).
Решить систему уравнений – значит найти множество всех её решений. Оно также может быть пустым.
Итак, решить систему уравнений – значит найти пересечение множеств решений уравнений, входящих в эту систему.

линейных уравнений
a1x + b1x = c1,
a2x + b2x = c2.
Графиками этих уравнений являются прямые (если хотя бы один из коэффициентов при переменных в каждом из них не равен нулю):
если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение;
если прямые параллельны, то система не имеет решений;
если прямые совпадают, то множество решений бесконечно.

строят графики каждого уравнения системы;
2) находят координаты точек пересечения построенных графиков ( если они пересекаются );
3) записывают ответ.

множеств их решений.
Для обозначения совокупности уравнений используется квадратная скобка
у = 2х – 3,
[ . Например, запись 3у + 2х = 1 совокупность двух уравнений. При записи совокупности в строчку используют логическую связку “или”. Например, у = 2х – 3 или 3у + 2х = 1.

в истинное числовое равенство, называется решением этой совокупности.

Множество решений совокупности есть объединение множеств решений, входящих в неё уравнений.

В основе этого способа лежит понятие равносильности систем уравнений.
Две системы уравнений на множестве Х называют равносильными, если множества их решений совпадают.
Замену одной системы другой, равносильной первой, на множестве Х, называют равносильным переходом на множестве Х.

из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получится система, равносильная исходной.
Например, системы уравнений
у – х = 8, и у = х + 8,
х2 + у = 14 х2 + у = 14
равносильны, т. к. уравнение у – х = 8 равносильно уравнению у = х + 8.

данной системы, то получится система, равносильная исходной.
Суммой двух уравнений f(x) = g(x) и h(x) = l(x) называется уравнение вида
f(х) + h(х) = g(х) + l(х).
Например, системы уравнений
2х + 3у = -8, и 3х = 33,
х – 3у = 41 х – 3у = 41
равносильны по данному утверждению.

х, через другие переменные, то, заменив в каждом другом уравнении системы переменную х на её выражение через другие переменные, получится система, равносильная исходной.
Например, системы уравнений
х = у – 1, и х = у – 1,
у2 – х = 39 у2 – у + 1 = 39
Равносильны по данному утверждению.

две системы уравнений
f1(x, y) = 0, (1)
f2(x, y) = 0

g1(x, y) = 0, (2)
g2(x, y) = 0.
Систему (2) называют следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является и решением системы (2).

0, => g1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0 g2(x, y) = 0

В этом случаи множество решений системы (2) может быть шире множества решений системы (1). Как правило, при решении систем переход от данной системе к её следствию происходит за счёт того, что одно из уравнений исходной системы заменяется его следствием. Посторонние решения, которые могут при этом появляться, исключают, выполняя проверку.

переходе:

y = f(x), <=> y = f(x),
g(x; y) = 0 g(x; f(x)) = 0

ху – 1.
Решение. Из первого уравнения находим х = у + 1. Подставив выражение у + 1 во второе уравнение системы, получим уравнение (у + 1)2 – у2 = (у + 1)у – 1, далее имеем: у2 + 2у + 1 – у2 = у2 + у - 1, у2 – у – 2 = 0, откуда у = 2 или у = -1. Соответствующие значения х найдём из уравнения х = у + 1. Если у = 2, то х = 3; если у = -1, то х = 0.
Ответ: {(3;2), (0; -1)}.

образом:
1) выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной;
5) записывают ответ.

сложения, основанный на следующем утверждении:
если одно из уравнений системы оставить без изменения, а другое заменить суммой уравнений системы, то получится система, равносильная данной.

2у + ху = -7.
Решение. Сложив почленно левые и правые части уравнений и оставив первое уравнение системы, получим более простую систему, равносильную данной:
2х – у - ху = 14,
3х + у = 7.
Решив эту систему методом подстановки, найдём решение исходной системы {(3; -2), (-7/3; 14)}.
Ответ: {(3; -2), (-7/3; 14)}.

следующим образом:
1) обе части первого уравнения на некоторый множитель, обе части второго уравнения умножают на другой множитель (если это требуется). Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;
2) уравнения почленно складывают и решают полученное уравнение с одной переменной;
3) вторую переменную находят подстановкой найденного значения первой переменной в одно из уравнений системы;
4) записывают множество решений системы.

конкретном примере.
Пример. Решим систему уравнений
(х + у)² - 2(х + у) – 15 = 0,
ху = 6.
Решение. Пусть х + у = а, тогда первое уравнение системы примет вид а² - 2а – 15 = 0, откуда находим: а = -3 или а = 5.

-3 или х + у = 5.
Соответственно исходная система равносильна совокупности систем:
х + у = -3, или х + у = 5,
ху = 6 ху = 6.
Каждую из систем можно решить, например, методом подстановки. Заметим, что первая система не имеет решений.
Ответ: {(2; 3), (3; 2)}.

вида
ах + bу + сz = d, (1)
где а, b, с, d – некоторые числа.
Напомним, что решением уравнения (1) является упорядоченная тройка чисел (х0,у0,z0), обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

у + z = 13 является упорядоченная тройка чисел х = 1, у = 2, z = 3, а также можно записать как (1; 2; 3).
При нахождении решений систем линейных уравнений с тремя переменными удобно пользоваться методом последовательного исключения переменных, который также называют методом Гаусса. Раскроем его сущность на конкретном примере.

– у + z = 2,
-3х +5у - 2z = 7.
Решение. Умножим первое уравнение системы на -2 и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем первое уравнение системы умножим на 3 и сложим его почленно с третьим уравнением.

второго и третьего уравнений
х + 2у + z = 7,
-5у + 3z = -12,
11у - 5z = 28.
Разделим почленно второе уравнение на -5 и получим у – 0,6z = 2,4 – уравнение с коэффициентом 1 при переменной у.

(2) и решив полученное уравнение, имеем z = 1. В результате преобразований получили систему
х + 2у – z = 7,
у – 0,6z = 2,4,
z = 1.
Такая система легко решается: z = 1, у = 2,4 + 0,6z = 3, х = 7 + z – 2у = 2.
Ответ: {(2; 3; 1)}.

иметь бесконечно много решений.