Презентация, доклад по математике по теме Функции (теоретические материалы).

учитель математики
МОУ лицей №86
Карпунина Елена Владимировна

Ярославль
2008

множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число y, то говорят, что задана функция y = f(x) с областью определения Х; пишут y = f(x), х ϵ Х.
При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной.

х ϵ Х иногда удобно использовать обозначение D(f).
Нельзя говорить о функции y = f(x) без указания ее области определения, которая или указывается явно, или подразумевается – в случае, если область определения функции y = f(x) совпадает с областью определения выражения f(x) (такую область определения иногда называют естественной).

= f(x), х ϵ Х, называют областью значений функции и обозначают E(f).
Если известен график функции, то область значений функции найти сравнительно нетрудно. Для этого достаточно спроецировать график на ось ординат. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси ординат в результате указанного проецирования, и будет представлять собой E(f).

плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

школьном курсе математики этих способов вполне достаточно.

Є D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство
f(х1) < f(х2).

Є D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1) > f(х2).

если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

Х Є D(f), если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа (иными словами, если существует такое число m, что для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство
f(х) > m).

Х D(f), если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа (иными словами, если существует такое число M, что для любого значения х ϵ Х выполняется неравенство
f(х) < М).

подразумевается, что речь идет об ограниченности функции сверху или снизу во всей области определения.
Если функция ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной.

функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m

ниже некоторой горизонтальной прямой у = М

y = f(x) на множестве Х Є D(f), если:
в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m;
для всех х из Х выполняется неравенство f(х) ≥ f(х0).

y = f(x) на множестве Х Є D(f), если:
в Х существует такая точка х0, что f(х0) = М;
для всех х из Х выполняется неравенство f(х) ≤ f(х0).

то она ограничена снизу.
Если у функции существует унаиб., то она ограничена сверху.
Если функция не ограничена снизу, то унаим. не существует.
Если функция не ограничена сверху, то унаиб. не существует.

любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

любые две точки ее графика (с абсциссами из Х) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

ϵ Х, называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-х) = f(х).
Функцию y = f(x), х ϵ Х, называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-х) = -f(х).
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
 

f(x) – четная или нечетная, то ее область определения D(f) – симметричное множество. Если же D(f) – несимметричное множество, то функция y = f(x) не является ни четной, ни нечетной, т.е. функцией общего вида.
Числовое множество Х называют симметричным множеством, если вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х. Например, (-2;2); [-120;120].

нечетности функции:
График четной функции симметричен относительно оси у.

координат.

на промежутке Х – означает, что график функции на промежутке Х – сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.