Презентация, доклад по математике Первообразная

практических задач
Подготовка к контрольной работе и ТВН

продолжением уже известного вам
дифференциального исчисления.
Первые работы по открытию интегрального исчисления принадлежат еще
Архимеду – первому математику древности.
В средние века этой проблемой занимался итальянский ученый Кавальери.
Но подлинное открытие интегрального исчисления принадлежит двум великим
ученым XVII века – Ньютону и Лейбницу.

Архимед

Ковальери

Ньютон

Лейбниц

XVII века. Символ интеграла образовался из буквы s — сокращения слова лат. summa (сумма).
Интеграл в древности
Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпыванияметод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н.э Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

Определение:
фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции
f , осью Ох и прямыми х = а, х = b .

ПРИЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА

Изображения криволинейных трапеций:

Приложение 1. Площадь криволинейной трапеции

а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

Теорема:

Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции

у = 4 - х²и у=0
Решение:
1. Построим криволинейную трапецию:
у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём [а; b]:
4-х²= 0; х² = 4 х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2
3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а)
S=F(2)-F(-2)=10,(6).

Пошаговый пример

пути по известному закону изменения мгновенной скорости и вычисления работы переменной силы по формуле:
      t1                      b S = ∫U(t)dt и A = ∫ F(x)dx      t0                  a
Например:
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10Н.
Решение: по закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т.е. F=kx, где х - величина растяжения или сжатия (в м); k – постоянная. Из условия находим k. Так как при x=0,01 м, F=10н, то k=F/x=1000.
Следовательно: F(x)=kx=1000x.
Работа силы F(x) при перемещении тела из точки а в точку b равна:
     b A= ∫ F(x)dx     a
Используем данные и получаем:
   0,08                           0,08 A= ∫ 1000xdx = 1000 х²/2 | = 3,2 (дж).     0                                 0

Приложение 2.

– значит найти эту самую функцию.
Но решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно. Поэтому для его решения требуется дополнительное условие.
Например: уравнение Y = x+1 – это дифференциальное уравнение.
Требуется найти функцию Y(x), производная от которой равна х+1.
Т.е. найти первообразную. Тогда первообразная Y = x2/2 + x + c, где с – постоянная – общее решение.
Если взять условие, что Y(0) = 3, то находим: 3 = 0 + 0 + с или с=3.
Тогда Y(x)= x2/2 + x + 3 – частное решение.
В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются: колебательные движения маятника, струны, пружины и т.д., т.е. процессы связанны с переменным электрическим током, магнитным полем.
Решение таких задач сводится к решению дифференциального уравнения.
Y``= -ω2y – дифференциальное уравнение гармоничных колебаний.
ω – заданное положительное число.
Y= y`(x) Y``= (y`(x))`
Решением являются функции:
Y(x) = Asin(ωx + φ)
A – амплитуда колебания.
ω – частота, φ – начальная фаза.
Графиком гармонических колебаний является синусоида.
Например: Y(x) = 2sin(2x + π/2).

Приложение 3.

где k – заданное число.
Решением этого уравнения является функция
Y = C℮ⁿ, где С – постоянная, определяемая условием конкретной задачи, n=kx.
Например:
Скорость m`(t) размножения бактерий связана с массой m(t) бактерий в момент времени t .
Уравнением: m`(t) = km(t), где k – положительное число, зависящее от вида бактерий и внешних условий.
Решениями этого уравнения является функция: m(t) = C℮ⁿ, n=kx
Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент t=0 масса m0 бактерий известна.
Тогда m(0) = m0 = C℮º = C и поэтому m(t) = m0℮ⁿ, n=kt.

Приложение 4.

Приложение 4.

XVII-ХVIII веков и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция. Стремительное развитие математики в эту эпоху было обусловлено также усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания.
Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин.
Среди таких математиков был итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. У Кавальери в 1635 г. вышла книга «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин». При вычислении объемов фигур бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их объемов, например, разрезать на части и составлять новые (так называемые равносоставленные фигуры).
Принцип Кавальери довольно близок к другому методу нахождения объёмов тел – методу интегрирования.

Приложение 5.

центром в точке O и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M. Обозначим радиус этого круга через R, а его площадь через S(x), где x-абсцисса точки М. Выразим S(x) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим
R = √OC²-OM² = √R²-x²
Так как S (x) = п r ², то S (x) = п (R²-x²). Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е., для всех х, удовлетворяющих условию –R ≤ x ≤ R. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = –R, b = R, получаем:
R R R R R
V = ∫ п (R²-x²) dx = п R² ∫ dx - ∫ x²dx = п R²x |‌ - пx³/3 | ‌ = 4/3 пR³.
-R -R -R -R -R
Теорема доказана