Презентация, доклад по математике на тему Решение уравнения в целых числах

Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг?
Решение:
Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг.
Составим уравнение: 3х + 8у=30
Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3
Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом
Если х = 8, то 8·3+8>30 ,
Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.
 

3x + 6y = 21.
Решение. Для уменьшения перебора вариантов
рассмотрим неравенства



Проведем перебор по неизвестной у.
Если y = 1, то x = 5
Если y = 2, то x = 3
Если y = 3, то x = 1.
Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).

13x +13y + 3y = 13· 23 +1,
3y −1 = 13(23 − x − y).
Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13.
Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом.
Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным числом.
Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12.
Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным числом.
Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числом
Если 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300.
Ответ: (12;9)

Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть:



Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5.
Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3.
Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом.
Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 > 39.
Ответ: (3; 3).

числах.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.
1) Если y = 3m, где m Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на 3.
2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не делится на 3.
3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9,
x = 4m + 3.
Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m Z.

= 3.
Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором
меньше по модулю:

Дробь должна быть равна целому числу.

Положим , где z – целое число.

Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим то
неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:

быть целым числом.

Обозначим ,где t– целое число.

Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к
неизвестным х и у:
y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9,
x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12.
 
Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число

20х + 3у=10
Решение. Коэффициенты при переменных х и у –
взаимно простые числа и свободный член - целое число.
Коэффициент при х больше коэффициента при у.
Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых
так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом,
кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим:
20х + 3у = 10
(18 +2) х +3у=10
18х +2х+3у=10
3(6х+у)+2х=10

3k+2x =10 с переменными k и х.
Проведем аналогичные преобразования с полученным
уравнением:
(2 + 1) k + 2 x =10
2(k + x) + k =10
Обозначим выражение k + х = n (2).
Получим уравнение 2 n + k =10
k = 10 – 2n
Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n:
10 – 2n +x = n
x = 3n – 10
 Мы получили одну из формул решений уравнения
20x – 3y = 10

а вместо k выражение 10-2n:
6(3n – 10)+y = 10 – 20n
y = 70 – 20n
Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n
при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные
решения уравнения

и пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения
aх + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами:
, где
Доказательство: Пусть пара - какое-нибудь
целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е.
. Сделаем замену переменных:


Тогда в новых переменных уравнение примет вид:
. Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если

13х = 6у - 19
Решение. Найдем одно целочисленное решение
уравнения: , и выполним преобразования






Ответ:

52y +1= 0
Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при
неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть
неправильной дроби .
Правильную дробь заменим равной ей дробью
Тогда получим

.

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью
 

.

Повторяя те же рассуждения для дроби получим

. Выделяя целую часть



неправильной дроби , придем к окончательному

результату:

этой цепной дроби –одну
пятую, превратим получающуюся при этом новую
цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби
: . Итак,


Приведем полученное выражение к общему знаменателю и
отбросив знаменатель, получим:
Из сопоставления полученного равенства с уравнением
127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением
этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут
содержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z.
Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t Z.
 

: х² + 2ху = 4х + 7
Решение: х² + 2ху - 4х = 7, (х + 2у -2)х = 7

Составим четыре системы уравнений:


решив которые, получим



Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)

которых равна 33.
Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения
(m + n)(m - n) = 33

т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений:






Ответ: (17; 16), (7; 4),

Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10
х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10
(х + 3)(у – 2) = 10

получаем восемь систем уравнений:




Решив полученные системы уравнений, получим:









Решив полученные системы уравнений, получаем:





Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0).

(-4; -8), (-5; -3), (-8; 0)

уравнение в целых числах :
х² - 5ху+4у²=13
Решение: Решив уравнение х² - 5ху+4у²=0
относительно переменной х , получим .
Теперь можно разложить левую часть уравнения на
множители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13
13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1)
Составим четыре системы уравнений:








Решив полученные системы уравнений, получим ответ:
Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4)

2 в целых числах.
Решение. Перепишем уравнение в виде
2x² − (2y − 9)x + y − 2 + a = a
и разложим левую часть уравнения на множители
как квадратный трехчлен относительно х. Находим
дискриминант D = 4y² − 44y + 97 −8a. Очевидно,
если 97 −8a =121, то дискриминант будет полным
квадратом.
При этом a = −3 и

Отсюда .
Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3.
-3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1

(0;2); (2;8); (−1;3).

+ 17y +71= 0
Решение: 3xy+17y=-14x - 71 ; y(3x+17)=-14x-71

, где 3х + 17≠0





Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число,
следовательно, дробь также целое число,и значит 25
делится на (3х+17). Получаем:
3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом
3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3
3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом
3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5
3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом
3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13
Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5)

Выразим у через х и выделим целую часть:
2xy-y = 2x² +9x - 2
y (2x-1)=2x² + 9x- 2


Т.к. у должно быть целым числом, то дробь
также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1).
Получаем: если 2x - 1=1, то x = 1, y = 9
если 2x - 1=-1, то x = 0, y = 2
если 2x - 1= 3, то x=2, y = 8
если 2x - 1 = -3, то x = -1, y = 3
Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)

x + 8y в целых числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное
относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0.
Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1.
Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е.
− 27y² + 90y +1≥ 0.
Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти
значения, получим, что исходное уравнение в целых
числах имеет решения (0;0) и (1;1).
Ответ: (0;0); (1;1).

x + y в целых числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х:
x² − ( y +1)x + y² − y = 0.
Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение
3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4.
Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2.
1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого решения у.

имеет
целые решения
При y = 2 получаем квадратное уравнение
x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 .
При y = 0 получаем квадратное уравнение
x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1.
3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1.
При y =1 получаем квадратное уравнение
x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 .
Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1)

x²+6xy+13y² = 40.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения,
выделив полный квадрат относительно переменной х: x²+6xy+9y²+4y² = 40;
(x+3y)²+4y² = 40.
Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3
Перебирая значения у, получим системы:












Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)
 

числах.
Решение. Так как 2x² - четное число, а 7 - нечетное, то
5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть
y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно
переписать в виде x² −10z² −10z = 6.
Отсюда видно, что х должно быть четным.
Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид
2m² − 5z(z +1) = 3,
что невозможно, так как число z(z +1) - четно, а
разность двух четных чисел не может быть равна
нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не
имеет решений в целых числах.
Ответ: нет решений