Презентация, доклад по математике на тему Полярные координаты

класса
Лобанова Софья
Научный руководитель: Мощенко О.В.
учитель математики МБОУ СОШ № 11

в современном мире. Цель исследования: путем анализа литературных источников выяснить, что такое полярная система координат и все, что связано с ее применением на практике. Актуальность исследования: полярные системы координат удобнее декартовых, поэтому возможно их широкое применение в медицине, для создания различных систем навигаций и многого другого. Основные задачи: изучить литературу по данной теме, привести примеры кривых, узнать области применения полярной системы координат, сделать вывод.

Грегорио Фонтана ввел термин «полярные координаты». Леонард Эйлер был первым, кто разработал полярную систему координат.

Гиппарх (190 г. до н. э. – 120 г.)

Грегорио Фонтана

Леонард Эйлер

на плоскости определяется полярным углом и полярным радиусом.

ОЕ – единичный отрезок, Ох –полярная ось. Точка О – полюс.
Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара (r, φ), где r – расстояние от точки А до точки О, полярный радиус, r ≥ 0, φ – угол между полярной осью и вектором ОА, полярный угол, -π < φ ≤ π.

координат, а полярной осью – ось Ох. Декартовы координаты выражаются через полярные: x = r Cos φ, y = r Sin φ, и наоборот полярные через декартовы:

Ох – полярная ось,
ОА – полярный радиус,
точка О – полюс, начало координат,
φ – полярный угол.

задается уравнением.
Окружность. Уравнение r = R Трилистник. Уравнение r = Sin3φ

- некоторое фиксированное число, угол φ задается в радианах.
Геометрическое свойство спирали Архимеда – постоянство расстояний между соседними витками, каждое из них равно 2πa.
Действительно, если на 2π, т. е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается на 2πa, что и составляет расстояние между соседними витками.

скольжения по прямой линии. Уравнение циклоиды имеет вид x = R(φ-sin⁡φ), y = R(1 - cos⁡φ).

Предположим, что окружность радиуса R катится по прямой, и точка Ао находилась в начале координат, окружность повернулась на угол φ. При этом Ао А. Поскольку дуга AP прокатилась по отрезку АоР, то АР = АоР = Rφ. Для координат x, y точки А имеем:
x = AP – AQ = Rφ – R sin⁡φ = R(φ-sin⁡φ),
y = OP – OQ = R – R cos⁡φ = R(1 - cos⁡φ).

или , где
φ- угол отклонения точки от нуля, а - коэффициент, отвечающий за радиус витков, k - за расстояние между витками.

Полярная роза - кривая, определяемая
уравнением: r(φ)=a Cos(kφ+ θo),
для произвольной постоянной θо
(включая 0).

таблицу значений:


Соединим все точки и получим:

координат имеют широкое применение, наиболее интересны в представлении, легки в восприятии и наглядно показывают результаты исследования.
Следует также отметить, что они, являясь относительно легкими в построении, могли бы быть включены в общеобразовательную программу школы, ведь их изучение позволило бы заинтересовать некоторых студентов в том, чтобы связать в дальнейшем свою жизнь и карьеру с техникой, прикладными науками.