Презентация, доклад по математике на тему: Открытый урок

Тема урока:

«Графики функций.
Преобразования
графиков
функций»

ввести понятие функции;
определение графика функции;
повторить способы задания функций;
рассмотреть геометрические способы преобразования графиков функций
совершенствовать
умение построения графиков функций;

Цели урока:

Числовая функция

Определение:
числовой функцией с областью определения D называется соответствие (зависимость), при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.
Обозначение:
латинскими (иногда греческими) буквами / f, q, h, y, p и т.д./
Задание:
определите, какая из данных зависимостей является функциональной
1) x y 2) a q 3) x d 4) n f

Является функциональной зависимостью, т.к. каждому значению переменной n ставится в соответствие единственное значение переменной f

Правильные ответы

Является функциональной зависимостью, т.к. каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение переменной у

Не является функциональной зависимостью, т.к. не каждому значению переменной а ставится в соответствие единственное значение переменной q

Не является функциональной зависимостью, т.к. одному из значений переменной х ставится в соответствие 2 значения переменной d

Рассмотрим произвольную функцию у=f(x)

Переменная х

Переменная у

Независимая переменная
или аргумент

Зависимая переменная
или функция

Название
переменной

Числовые
значения
переменной

Множество всех
допустимых значений переменной
образует

Значения аргумента
(выбираются произвольно)

Значения функции f
в точке х
и обозначают f(x)

Область определения функции

D(f) или D(y)

Область значений
функции для x Є D(f)

E (f) или E(y)

Примеры

Функция задана формулой у =

Рассмотрим выражение, стоящее справа:

так как выражение имеет смысл при всех значениях переменной, кроме х = -3, х = 3, поэтому D( y )=(- ∞;-3) U (-3;3) U (3; +∞)
так как числитель дроби не может быть равен 0, поэтому
Е ( у )=(- ∞ ; 0) U (0 ; +∞)
Функция задана формулой у = 3sinα-5
так как выражение 3sinα-5 имеет смысл при всех значениях α, поэтому D( y )= R
так как -1≤ sinα ≤ 1, то -3 ≤ 3 sinα ≤ 3, следовательно - 8 ≤ 3 sinα - 5≤ -2, поэтому Е ( у )=[- 8 ; -2 ]
Функция задана формулой у =
так как выражение имеет смысл при х-1≥0, т.е. при х≥1, поэтому D( y )= [ 1; +∞ )
так как выражение (х – 1) стоит под знаком арифметического квадратного корня, поэтому Е ( у )=[ 0; +∞)

Числовые функции

Целые
рациональные
f(x) = p(x),
где p(x) – некоторое выражение или многочлен
примеры:
D(y) =R

D(y) =R

D(y) =[ -4;+∞)

Дробно
рациональные



где p(x),q(x) – некоторые выражения или многочлены
D(f): q(x)≠0

примеры:
D(y) =R, х ≠ -2


D(y) =( -4;+∞)



D(y) =R, х ≠ 0,х ≠1,х ≠5

График функции

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f(х), а х «пробегает» всю область определения функции.
Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу.
Задание:
определите, какое из данных является графиком функции
Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4

у

х

о

у

х

о

у

х

о

у

х

о

Правильные ответы

у

х

у

х

у

х

о

о

о

у

х

о

Формула

График




Таблица



Словесное описание
Масса тела m прямо пропорционально зависит от его объёма V при постоянной плотности ρ.

Способы задания функций

Преобразование графиков функций

Параллельный перенос графика функции у = f(х) вдоль оси Ох:
на а единиц вправо, если а>0;
на |а| единиц влево, если а <0

у = f(х-a)

Параллельный перенос графика функции у = f(х) вдоль оси Оу:
на А единиц вверх, если А>0;
на |А| единиц вниз, если А <0

у =f(х)+А

Пример

Рисунок

Преобразование графика функции у=f(x)

Функция

у

А

у=f(х)

у=f(х)+А
А>0

|А|

у=f(х)+А
А<0

0

х

у

1

2

3

0

4

у

0

х

у=f(х-а)
а>0

у=f(х)

у=f(х-а)
а<0

у

0

1

2

3

4

-1

Преобразование графиков функций /продолжение/

Сжатие графика функции у = f(х) вдоль оси Ох относительно оси Оу в k раз, если k>1;
Растяжение графика вдоль оси Ох относительно оси Оу в раз, если
0

у = f(kх),
k>0

Растяжение графика функции у = f(х) вдоль оси Оу относительно оси Ох в k раз, если k>1;
Сжатие графика вдоль оси Оу относительно оси Ох в раз, если 0

у = kf(х),
k>0

Пример

Рисунок

Преобразование графика функции у=f(x)

Функция

у

х

0

у=f(х)

у = kf(х),
k>1

у = kf(х),
0

х

0

у

у=f(х)

у = f(kх),
k>1

у = f(kх),
0

х

0

у

у = cos x

у = 2cos x

π

-π

-2

-1

х

0

у

у = sin 0,5x

у = sin 2x

у = sin х

π

2π

Преобразование графиков функций /продолжение/

Симметричное отражение графика функции у = f(х) относительно оси Оу

у = f(-х)

Симметричное отражение графика функции у = f(х) относительно оси Ох

у = - f(х)

Пример

Рисунок

Преобразование графика функции у=f(x)

Функция

х

0

у

у=f(х)

у = - f(х)

х

у

0

у=f(х)

у=f(-х)

х

у

0

х

у

0

1

1

-1

-1

1

1

Преобразование графиков функций /продолжение/

Часть графика функции у= f(х), расположенная в области х ≥0, остаётся без изменения, а часть графика, расположенная в области х≤0, заменяется симметричным отображением части графика для х ≥0 относительно оси Оу

у = f(|х|)

Часть графика функции у= f(х), расположенная ниже оси Ох, симметрично отражается относительно оси Ох, остальная часть графика остаётся без изменения

у = |f(х)|

Пример

Рисунок

Преобразование графика функции у=f(x)

Функция

х

у

0

у= f(х)

у = |f(х)|

х

у

0

у= f(х)

у = f(|х|)

х

0

у= х²-1

у= |х²-1|

у

1

-1

х

0

у

1

-1

1

у= |х|³

у= х³

у = 3 – (х+1,5)²
у=х² у=(х+1,5)²

у= -(х+1,5)² у= 3 – (х+1,5)²

Задание 1 Построить график функции

у= 3 – (х+1,5)²

у= х²

у=(х+1,5)²

у= – (х+1,5)²

у = 2sin (х – π)

у= sin х у= 2sin х у = 2sin (х – π)

у = 2sin (х – π)

у = sin х

у = 2sin х

у = -cos (х+π)
у=cosх у = cos (х+π)

у = -cos (х+π)

Задание 2 Определите, какие виды преобразований были использованы

у = 0,5(х-1)³ + 3
у=х³ у=(х-1)³

у=0,5(х-1)³ у = 0,5(х-1)³ + 3

Задание 3 Определите, какой формулой задана функция

у = х³

у = (х-2)³

у = - (х-2)³

у = - (х-2)³- 4

у = х

у = х-1

у = |х-1|

у = х

у = х-1

у = |х-1|

у

х

0

1

1

-1

-1

Построение графика функции у = |х – 1|

у= |х – 1|

у= х

у= х – 1

Итоги урока

Какие существуют способы преобразования графиков?

Домашнее задание.

§2

I уровень –
№ 48(б);
№49(в)

II уровень-
№50(в); №56(г)

Загадка

Что общего между:

качелями

музыкой

и светом

это колебательные процессы, которые описываются с помощью гармонической функции:

Спасибо за урок!