Презентация, доклад по математике на тему Элементы комбинаторики

известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц.
(1.07.1646 - 14.11.1716)

Пьер Ферма (1601-1665)

Блез Паскаль (1623-1662)

Абрахам де Муавр, английский математик (1667-1754)

Джеймс Стирлинг, шотландский математик (1692-1770)

азартные игры (подсчёт частоты выигрышей);

Пример:

На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение:

По условию задачи яблоко можно выбрать
пятью способами, апельсин – четырьмя.
Так как в задаче речь идет о выборе
«либо яблоко, либо апельсин», то его,
согласно правилу сложения, можно
осуществить 5+4=9 способами.

Ответ: 9 способов.

1 способ: перебор вариантов.

Ответ: 6 чисел.

Решение:

Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7:
14, 17, 41, 47, 71, 74.

Ответ: 6 чисел.

Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру двузначного числа можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 3∙2, т.е. 6.

Ответ: 6 чисел.

m-количество цифр стоящих на первом месте

n-количество цифр стоящих на втором месте

m∙n=3∙2=6

Решение:

m = 3, n = 4;

Ответ: 12

Задача 2

Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3?

Решение:

m=3, n=4, k=4;

Ответ: 48

Задача 3

Сколько различных пятибуквенных слов можно записать с помощью букв «и» и «л»?

Решение:

a = 2, b = 2, c = 2, d = 2, f=2;

Ответ: 32

= 32

Л и л и и

2 • 2 • 2 • 2 • 2 =

abcdf =

m • n = 12

mnk=3 • 4 • 4

=48

Ответ: 1), 2) 6; 3), 4) 12; 5), 6) 9.

Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр:
1 вариант: 1) 2 и 3; 3) 0 и 2;
2 вариант: 2) 8 и 9; 4) 0 и 5?

Ответ: 1), 2) 8; 3),4) 4.

№ 1044

Ответ: 1),2) 6; 3),4) 24.

№ 146

Сколько различных четырехбуквенных «слов» можно записать с помощью букв:
1 вариант: 1) «м» и «а»; 3) «к», «а» и «о»;
2 вариант: 2) «п» и «а»; 4) «ш», «а» и «л».

Ответ: 1), 2) 16; 3), 4) 81.

С.Р.

Решение:

m = 3, n = 4; mn = 3•4 = 12

Ответ: 12

Ответ: 8

С.Р.

Дополнительно

Сколькими способами могут распределиться золотая и серебряная медали на чемпионате по футболу, если в нем принимают участие:
1) 32 команды; 2) 16 команд?

Сколькими способами можно составить расписание 5 уроков на один день из 5 различных предметов?

Сколькими способами могут занять очередь в школьный буфет:
1) 6 учащихся; 2) 5 учащихся?

Дополнительно

В классе 20 учащихся. Необходимо назначить по одному дежурному в столовую, вестибюль и спортивный зал. Сколькими способами это можно сделать?

Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечетных местах, различны?

4896

6840

64800

Ответ:
22!;
27!.

№ 3

Ответ:
(k+1)!;
k!.

Задача 1:

Сколькими способами можно поставить рядом на полке 4 различные книги?

Ответ:

24

Х

Х

Х

Определение.

n! = 123(n –2)(n–1)n

Pn = n(n –1)(n – 2)321

(2)

Pn = n!

(3)

№ 1060 Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой?

№ 1063 Сколько различных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы:
1) последней была цифра 3;
3) первой была цифра 5, а второй – цифра 1;
5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке?

Упражнения:

№№ 1064 - 1071

Решение: P8 = 8! = =40 320

Пример 2.
Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: P4 = 4! = =24,

Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18

P3 = 3! = =6,

Решение:

Решение:

1 способ – решение перебором:

12, 13, 14,
21, 23, 24,
31, 32, 34,
41, 42, 43.

2 способ – по правилу произведения: m = 4, n = 3; mn = 12

Ответ: 12

Из задачи видно, что любые два соединения отличаются либо составом элементов (12 и 24), либо порядком их расположения (12 и 21). Такие соединения называют размещениями.

Обозначение:

 читают «А из эм по эн»:

= 12.

Примеры:

= 4 • 3 = 12;

= 4 • 3 • 2 = 24;

= 5 • 4 • 3 = 60

=

Задача 2.

Сколькими способами можно обозначить данный вектор, используя буквы A, B, C, D, E, F?

Решение:

(1)

(2)

или

Решение:

Решение:

Задача 7.
Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3?

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Бином Ньютона.

3) Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома,
то есть n.
4) Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой:

(правило симметрии).

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.

Начнем рассматривать бином в общем виде:





Тогда

…

Треугольник Паскаля

Д/З: § 62, № 1072, 1076

Санкт-Петербург, 2014