Презентация, доклад по математике на тему ЕГЭ Задача № 19-теория чисел часть 2 (11 класс)

на ЕГЭ по математике?
Она нестандартна.
Она требует математической культуры — умения грамотно строить рассуждения.
Учиться культурно рассуждать можно и обязательно нужно.
Задача №19 предоставляет для этого отличную возможность.

Надо мыслить
нестандартно

9, 10, 11, 12, … –
ряд натуральных чисел N или (Z+)

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, … –
ряд противоположных натуральным чисел Z–

…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … –
ряд целых чисел Z (Z+ и Z– и 0)

∙ 5 ∙ … ∙ (n – 3)(n – 2)(n – 1)n

Примеры: 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

2! = 1 ∙ 2 = 2

1! = 1

0! = 1

суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписываются на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2; 3 и 5, то на доске будет набор 2; 3; 5; 5; 7; 8; 10.
а) На доске выписан набор : -11; -7; -5; -4; -1; 2; 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых задуманных различных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел было задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли можно по этому набору однозначно определить задуманные числа?

Ответ: а) -7, - 4, 6; б) 5; в) нет (см. решение далее)

А теперь задачи уровня ЕГЭ…

равен 2n - 1.
Ведь, по сути, мы рассматриваем всевозможные подмножества n-элементного множества (а их всего 2n ), за исключением пустого множества. Если задумано три числа, то набор состоит из семи чисел; Допустим, что задуманы одно отрицательное число a и два положительных.
Пусть а = -11. Поскольку все остальные числа набора должны быть больше a. Но тогда задумано число 2 ( -11 + 2 = -9), а его нет в наборе, или задумано число 6 ( -11 + 6 = -5), это число есть в наборе, но другого положительного, большего 6 нет. Противоречие показывает, что задуманы два отрицательных числа и одно положительное.
Подходит -7, - 4, 6.
б) Пусть задуманы три числа. Четырех нулей среди них быть не может, поскольку среди задуманных чисел возможен набор из 0 и двух противоположных чисел, тогда появятся только три нуля. Пусть задуманы четыре числа. Опять могут появиться только три 0.
Две пары противоположных чисел могут дать нам три 0. Другие варианты – это такой же случай, как с тремя задуманными числами. Если задуманы пять чисел, то четыре 0 в полученном наборе возможен. Например, две пары противоположных чисел и 0.
в) задуманные числа не всегда можно однозначно восстановить по набору. Например, задумаем сначала числа -3, 1, 2, а потом числа 3, - 1, -2. В обоих случаях получим один и тот же набор -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Взяли числа, дающие в сумме нуль, а потом поменяли у них знаки — набор не изменился.

А теперь задачи уровня ЕГЭ…

10, -11 по одному записывают
на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 10 сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4 (см. решение далее)

А теперь задачи уровня ЕГЭ…

какого числа
нет ему противоположного по знаку, нет ни одного множителя, равного 0. Значит, 0 в произведении получиться не может.
б) в произведении каждый множитель должен быть нечётным, чтобы в результате получилось нечетное число.
Следовательно, для каждого числа в паре должно быть одно число чётное, а другое нечётное. Однако из условия вытекает, что указанная последовательность содержит 4 чётных числа и 6 нечётных. Делаем вывод, что два множителя обязательно будут чётными, значит и произведение обязательно будет четным. В частности, 1 получиться не может.
в) а = (1 - 2)( -2 + 1)( -3 + 4)(4 - 3)( -5 + 7)(7 - 5)( -8 + 9)(9 - 8)(10 - 11)( -11 + 10) = 4:
Следовательно, наименьшее неотрицательное значение равно 4. (Логика возможного набора чисел на карточках понятна – суммы должны принимать наименьшие значения).

А теперь задачи уровня ЕГЭ…

или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Рациональные числа – это числа вида ,
где m – целое число, а n – натуральное.
Q - множество рациональных чисел.

Примеры:
6 = 6,000… = 6,(0); 7,432 = 7,432000… = 7,432(0).

= 0,17(857142); = 0,(285714);

в виде обыкновенной дроби.

= 1,(23) = 1,23232323…
Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период:
100х = 123,232323…
х = 1,232323…
100х – х = 122,000000…
Т.е. 99х = 122, откуда х =

Пример (1 способ):

–

Простейшие примеры

= 1,232323… = 1 + 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + …
Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S1, где S1 = b1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b1 = 0,23:
S1 = =
S = 1 + =

Пример (2 способ):

Простейшие примеры

R.

Иррациональные и действительные числа

Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio – разум (буквальный перевод: «рациональное число – разумное число», «иррациональное число – неразумное число»).

Примеры:

им числа и число нуль, то получится множество чисел, которые называют действительными числами.

Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел, которое обозначают R.

Действительные числа