Презентация, доклад по математике на тему Числа и их свойства. Задание 19 (C7)

23 г. Владивостока»

задачи

взять любое целое число от 0 до 129. При этом опре­де­ле­но од­но­знач­но. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число спо­со­бов равно 130.

б) По­вто­ряя рас­суж­де­ния преды­ду­ще­го пунк­та, не­слож­но по­ка­зать, что каж­дое из чисел от 1290 до 1299 пред­ста­ви­мо в тре­бу­е­мом виде ровно 130 спо­со­ба­ми.
 в) Рас­смот­рим пред­став­ле­ние не­ко­то­ро­го числа N в виде , где m и n  — не­ко­то­рые целые числа от 0 до 9999. Пред­ста­вим m в виде
где  l — цифра еди­ниц числа m а  k — не­ко­то­рое целое число от 0 до 999. Тогда:

, где n — не­ко­то­рое целое число
от 0 до 9999, а k — не­ко­то­рое целое число от 0 до 999.

не крат­ное 100.
а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?
б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?
в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

Источник: Вторая волна 10.06.2013. Центр

(не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. На­пример, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Ре­ше­ние. Набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
а) За­ду­ман­ные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают тре­бу­е­мый набор, за­пи­сан­ный на доске.

Источник: Основная волна ЕГЭ 03.06.2013. Центр

13, 15, 16, 17, 19, 20, 22.

По­сколь­ку за­ду­ман­ные числа на­ту­раль­ные,
то наи­мень­шее число в на­бо­ре — это наи­мень­шее из
за­ду­ман­ных чисел,
а наи­боль­шее число в на­бо­ре — это сумма всех за­ду­ман­ных чисел.
Среди чисел за­пи­сан­но­го на­бо­ра долж­на быть сумма всех чисел, кроме наи­мень­ше­го, то есть 22 − 1 = 21.
Но этого числа нет в на­бо­ре, по­это­му не су­ще­ству­ет
при­ме­ра таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­ро­го на доске будет вы­пи­сан набор из усло­вия.

в) 7, 7, 7, 9, 11 или 7, 9, 11, 14.

и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­писывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно опре­делить задуманные числа?

Источник: Ре­аль­ный ва­ри­ант ЕГЭ 2013 (сибирь)

было за­ду­ма­но 4 числа или более, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не менее 15 чисел.
Если было за­ду­ма­но 2 числа или мень­ше, то на доске долж­но быть за­пи­са­но не более 3 чисел.
Зна­чит, было за­ду­ма­но 3 числа.
Если бы было за­ду­ма­но 2 по­ло­жи­тель­ных числа, то на доске было бы вы­пи­са­но не менее трёх по­ло­жи­тель­ных чисел.
Зна­чит, по­ло­жи­тель­ное число одно, и это число —
наи­боль­шее число в на­бо­ре, то есть 6.
Наи­мень­шее число в на­бо­ре −11 яв­ля­ет­ся сум­мой двух от­ри­ца­тель­ных за­ду­ман­ных чисел. Из от­ри­ца­тель­ных вы­пи­сан­ных чисел толь­ко −7 и −4 дают в сумме −11. Зна­чит, были за­ду­ма­ны числа −7, −4 и 6.

этих чисел в на­бо­ре на доске ока­за­лось ровно k нулей.
Если до­ба­вить к за­ду­ман­ным чис­лам нуль, то на доске ока­жет­ся ровно 2k + 1 нулей:
k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел,
k нулей, по­лу­ча­ю­щих­ся как суммы не­ну­ле­вых за­ду­ман­ных чисел и за­ду­ман­но­го нуля,
и за­ду­ман­ный нуль.
Таким об­ра­зом, если среди за­ду­ман­ных чисел есть нуль, то в на­бо­ре на доске ока­жет­ся нечётное ко­ли­че­ство нулей.

нет нуля.
Пусть за­ду­ма­но че­ты­ре или мень­ше не­ну­ле­вых числа. Нуль по­лу­ча­ет­ся тогда, когда сумма не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства по­ло­жи­тель­ных чисел равна по мо­ду­лю сумме не­ко­то­ро­го ко­ли­че­ства от­ри­ца­тель­ных чисел.
Одно за­ду­ман­ное число даёт одну сумму;
два раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа од­но­го знака дают три раз­лич­ные суммы;
три раз­лич­ных за­ду­ман­ных числа дают семь сумм, среди ко­то­рых не более двух (за­ду­ман­ное число, наи­боль­шее по мо­ду­лю, и сумма двух дру­гих за­ду­ман­ных чисел) сов­па­да­ют.

более трёх.
Таким об­ра­зом, если было за­ду­ма­но не более четырёх раз­лич­ных не­ну­ле­вых чисел, то на доске ока­жет­ся не более трёх нулей.

Если были за­ду­ма­ны числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске ока­жет­ся ровно че­ты­ре нуля. Зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство за­ду­ман­ных чисел — 5.

в) Нет, не все­гда.
На­при­мер, для за­ду­ман­ных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет вы­пи­сан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. 
Ответ: а) −7, −4, 6; б) 5; в) нет.

−8, 9 по од­но­му
за­пи­сы­ва­ют на 8 кар­точ­ках. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5 , 7, −8, 9.
После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют. 
а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?
б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?
в) Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

7, −8, 9 нет про­ти­во­по­лож­ных. Зна­чит, сумма чисел на каж­дой кар­точ­ке не равна 0.
По­это­му всё про­из­ве­де­ние не может рав­нять­ся нулю. 
б) Среди вось­ми дан­ных чисел пять нечётных. Зна­чит, на какой-то кар­точ­ке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. По­это­му всё про­из­ве­де­ние чётно и не может рав­нять­ся 1. 
 

7, −8, 9 пять нечётных. Зна­чит, хотя бы на двух кар­точ­ках с обеих сто­рон на­пи­са­ны нечётные числа, и сумма чисел на каж­дой из этих кар­то­чек чётная.
По­это­му всё про­из­ве­де­ние де­лит­ся на 4.
Наи­мень­шее целое по­ло­жи­тель­ное число, де­ля­ще­е­ся на 4, это 4.
Оно по­лу­ча­ет­ся при сле­ду­ю­щем на­бо­ре пар чисел на кар­точ­ках: (1;−2); (−2;1); (−3;4); (4;−3); (−5;7); (7;−5); (−8;9); (9;−8). Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

равно 1, 2, 3 или 4.
Обо­зна­чим 
S1 = a1+a2+...+a350,
S2 = a12+a22+...+a3502,
S3 = a13+a23+...+a3503,
S4 = a14+a24+...+a3504. 
Из­вест­но, что S1 = 513. 
а) Най­ди­те S4, если еще из­вест­но, что S2 = 1097, S3 = 3243.
б) Может ли S4 = 4547 ?
в) Пусть S4 = 4745. Най­ди­те все зна­че­ния,
ко­то­рые может при­ни­мать S2.

Источник: Ре­зерв­ный день 19.06.2013. Центр

последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?

б) может ли в последовательности быть четыре члена?

в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

2076 не является квадратом натурального числа.

800 кг, 60 штук по 1 000 кг
и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, пред-
пола­гая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, пред-пола­гая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Источник: Досрочный ЕГЭ Восток 23.04.2013

возможность загрузить такой грузовик пол­ностью — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1 000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук.
Поскольку осталось 60 глыб, массой 1 500 кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузо­виков должно быть хотя бы 3 такие глыбы.
Но в грузовик, в который загружено 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, ни­чего больше погрузить не получится.

Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.

в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1 000 кг,
в 25 грузовиков загру­зить по 2 глыбы, массой 1 000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1 500 кг каждая,
в 3 грузовика загрузить 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1 500 кг,
то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков — это 39.

Ответ: а) да; б) нет; в) 39.

единица ― золотые):





а) Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.
б) Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых?

Источник: тестирование Санкт-Петербург 2013.

тем боль­ше денег у них оста­нет­ся. Таким об­ра­зом, можно ре­шать рав­но­силь­ную за­да­чу: рас­пре­де­лить день­ги между бра­тья­ми так, чтобы они в сумме за­пла­ти­ли как можно мень­ше.
 
1. Пусть все три брата по­лу­чи­ли от 101 до 400 зо­ло­тых. В этом слу­чае каж­дый из них за­пла­тил налог 20%, а зна­чит, они долж­ны в сумме за­пла­тить 200 зо­ло­тых.
 
2. Пусть хотя бы один из бра­тьев по­лу­чил более 400 зо­ло­тых. Тогда он дол­жен за­пла­тить налог 50%, то есть более 200 зо­ло­тых. В этом слу­чае сумма, ко­то­рую за­пла­тят все три брата, боль­ше 200 зо­ло­тых. Таким об­ра­зом, рас­пре­де­ле­ние, разо­бран­ное в пер­вом слу­чае, вы­год­нее.

зо­ло­тых. В этом слу­чае осталь­ные 900 зо­ло­тых нужно рас­пре­де­лить между двумя бра­тья­ми, а зна­чит, хотя бы у од­но­го из них ока­жет­ся сумма не мень­ше 450 зо­ло­тых. Этот слу­чай разо­бран в п.2.
 
Сле­до­ва­тель­но, сумма, ко­то­рая оста­нет­ся у бра­тьев, будет наи­боль­шей в том слу­чае, если каж­дый из них по­лу­чит от 101 до 400 зо­ло­тых. При этом вер­ным будет любое раз­би­е­ние 1000 зо­ло­тых на три сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых лежит в ука­зан­ном про­ме­жут­ке (в ка­че­стве при­ме­ра можно вы­брать числа 366, 366 и 268).
 
Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма ко­то­рых равна 1000 (на­при­мер, 366, 366 и 268).