Презентация, доклад по математике Комбинаторика Основные понятия и решение задач

достигнуть эффективного управления как отдельными объектами: предприятиями, фирмами, отраслями экономики, биологическими системами и организмами, так и различными процессами, протекающими в политической, общественной, социальной жизни. Чтобы достичь успеха в принятии наиболее правильного решения, не достаточно просто владеть полной информацией об объекте управления, необходимо хорошо ориентироваться в мире информации, использовать научные методы оценки случайностей и выявления взаимосвязей и активно действовать опираясь на скрытые закономерности. Искусство управления определяется принятием интегрированных решений, учитывающих разносторонние факторы, которые изменяются с какой-то долей случайности, неопределенности и закономерности различных событий. Фундаментом для научного подхода к поиску ответов на вопросы подобного рода является теория вероятностей.

понятиями, которые необходимы для расчета вероятности.

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает различные группы и
соединения (комбинации).

можно назвать группу студентов в аудитории, учащихся одного класса, совокупность произвольных букв, букв определенного слова, набор цифр, книги на полке и другое.

Предметы из которых состоят соединения, называются элементами.

Из элементов одного соединения можно составить другие соединения, которые формируются различными способами.

все n элементов, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Например, возьмем в качестве трех элементов цифры 1, 2, 3, тогда n=3. Построим из них все соединения, которые будут содержать все три элемента и отличаться друг от друга лишь порядком их расположения. Таких соединений будет шесть
( число перестановок из трех элементов).

Число перестановок из n элементов обозначается

(читается: n факториал)

Факториалом называется произведение n натуральных чисел от 1 до n.

число перестановок из пяти элементов.

2. На книжной полке выставлены 8 книг различных авторов.
Сколько способов имеется для расстановки этих книг в различном порядке?

Решением задачи является число перестановок из 8 элементов.

3. Собрание сочинений А.С.Пушкина издано в шести томах.
Сколько существует способов расставить эти тома?

четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?
В 10 классе в среду пять уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на этот день?
Адъютант должен развести пять копий приказа генерала пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки копий приказа?
У Вовы на обед – первое, второе, третье блюда и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

Перестановки

ж)

з)

Сократите дробь: а)

б)

в)

г)

Решите уравнение: а) n! = 7(n - 1)!
б) (m+17)!=420(m+15)! в) (k – 10)! = 77(k – 11)!
г) (3x)! = 504 (3x -3)!

Перестановки

элементов первого, l – второго, k – третьего типов (m+l+k=n). Элементы повторяются α, β, γ раз соответственно. Такие соединения называются перестановками с повторениями.

Количество возможных перестановок с повторениями из n элементов определяется по формуле:

Задача. Сколько четырехзначных чисел можно составить из двух 1 и двух 2.

Для расчета применим формулу числа перестановок с повторениями.

Задача. Сколькими способами можно переставить буквы в слове ОЛОВО.

из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, не зависимо от порядка их расположения. Такие соединения называются
сочетаниями из n элементов по m.

Для подсчета числа сочетаний из n элементов по m элементов в каждом, которое обозначается символом будем использовать формулу числа сочетаний:

надо выбрать три человека. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения задачи использует общую формулу при n =20, m = 3

Сравните: а)

и

б)

и

Решите уравнение: а)

б)

в)

г)

элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз
от 1 до m включительно, или не содержать его совсем.
Такое соединение называется сочетанием с повторениями.

Каждое сочетание с повторениями из n элементов по m
элементов может состоять не только из различных элементов,
но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов
из числа n или не содержащих их вообще.

Число сочетаний с повторениями можно рассчитать по формуле:

из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их
расположения. Такие соединения называются размещениями
из n элементов по m.

Число размещений из n элементов по m элементов в каждом
Обозначается символом и вычисляется по формуле:

Решите уравнение: а)

б)

в)

г)

6 команд: Динамо, Спартак Торпедо, Локомотив, Химик Волга. Каждая пара команд проводит две встречи — на своём поле и на чужом. Найдите число всех матчей.
Указание: Для решения задачи Вы можете использовать один из рассмотренных выше способов. Мы рекомендуем составить график встреч.
В забеге участвует 5 спортсменов. Сколькими способами можно предсказать распределение первых трёх мест, считая что победители показывают разное время?
Указание: переберите возможные варианты с помощью дерева.
Замок сейфа открывается. если набрана правильная комбинация из четырёх цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.
Указание: подсчитайте число способов, с помощью которых можно выполнить каждое действие, состоящее в наборе очередной цифры шифра.

Волга. Каждая пара команд проводит две встречи — на своём поле и на чужом. Найдите число всех матчей.

трёх мест, считая что победители показывают разное время?

Выбор из 5 по 3

Для выбора первого – 5 вариантов

Для выбора второго – 4 варианта

Для выбора третьего – 3 варианта

Всего – 5∙4∙3 = 60

Ответ – 60

трёх мест, считая что победители показывают разное время?

Выбор из 5 по 3

Для упорядоченной тройки чисел

Число размещений из 5 элементов по 3

Второй способ

0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.

Выбор из 10 по 4 с повторением

Для выбора первой цифры –10

Для выбора второй – 10 вариантов

Для выбора третьей – 10 вариантов

Для выбора четвертой – 10

Всего – 10∙10∙10∙10 = 10000

0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.

Выбор из 10 по 4 с повторением

Второй способ