Презентация, доклад по математической статистике

Оглавление

параметров распределения
Глава 4
Проверка статистических гипотез
Глава 5
Вероятность и информатика

Связь с понятиями теории вероятности
1.4. Статистические данные для двумерных случайных величин
1.5. Задачи математической статистики

неизвестен. И над ней можно провести сколь угодно испытаний. Допустим, что произведено n независимых испытаний, в результате которых получилась последовательность
y1, y2 , . . .,yn , такая последовательность называется выборкой объема n
Если n – велико, то над выборкой выполняются операции упрощения восприятия статистических данных, упорядочив значения по возрастанию
, или если в выборке есть повторы.
С любым значением можно связать число - абсолютная частота значения в выборке y1, y2 , . . .,yn . Это число испытаний в которых получилось значение



вариационный ряд, полученный по выборке y1, y2 , . . .,yn



Заметим, что

Где, значения выборки в порядке возрастания, а
частота события



Если ξ- непрерывна, вариационный ряд для выборки большого объема становится трудно обозримым. В этом случае выбирается числовой отрезок , содержащий все значения выборки, затем делят его на k равных частей, где
Подсчитаем относительную частоту попадания элементов выборки в любой из этих интервалов и составим таблицу.
Таблица относительных частот.



Иногда используется другой способ представления опытных данных – выборочная функция распределения , где справа стоит частота события

Полигон – простое, графическое изображение вариационного ряда, применяется в основном для дискретных случайных величин.





при n=4
Гистограмма.
Пусть непрерывная случайная величина с таблицей относительных частот. Соответствующая гистограмма строится как набор прямоугольников в верхней полуплоскости системы координат. Основания прямоугольников равны , и площадью . Суммарная площадь всех прямоугольников в гистограмме равна 1.

распределения
По теореме Бернули значение выборочной функции распределения при сходится по вероятности к , таким образом выборочная функция распределения тесно связана с теоретической функцией распределения.
Если дискретная случайная величина, то по теореме Бернули вариационный ряд относительных частот при увеличении n сходится по вероятности к ряду распределения
. Также если непрерывная случайная величина, имеющая плотность вероятности, то гистограмма при увеличении числа сегментов, и уменьшении длины всех отрезков приближается к плотности вероятности .
Т.е. изучая выборки больших объемов будем получать точную информацию о законах распределения изучаемых случайных велечин.

. Для этого двумерного случайного вектора выборка – последовательность пар чисел , которая записывается в виде таблицы.
Вариационный ряд строится так:
упорядочим по возрастанию множество первых и вторых элементов

Построим таблицу
- частота события
Для случайных векторов размерности больше 3
графические методы представления статистических
данных применяются редко, т.к. из-за сложности рисунка
теряется их наглядность.

выборка для случайной величины . В самом общем случае цель математической статистики – по выборке сделать выводы о случайной величине
По выборке определить закон распределения величины
Получить по выборке приближенную оценку математического ожидания
Получить по выборке приближенную оценку дисперсии
Подтвердить или опровергнуть гипотезу о законе распределения
Точных ответов на такие вопросы получить нельзя, т.к выборка несет на себе черты случайности. В лучшем случае можно надеется на оценку вероятности сделанной ошибки. Это приводит к вопросам другого типа.
Найти вероятность того, что найденная оценка мат. ожидания попадет в интервал

оценок
2.2. Оценки наибольшего правдоподобия
2.3. Выборочный коэффициент корреляции
2.4. Метод наименьших квадратов
2.5. Выборочные прямые регрессии

ожидание
. Оценим этот параметр с помощью законов больших чисел.
- среднеарифметическое значение выборки.
В статистике эта оценка называется выборочной
средней и обозначается .
Существуют и другие оценки



Для дисперсии
- выборочная дисперсия.

- исправленная выборочная дисперсия.

Оценка несмещенная, если . Оценка состоятельная, если

распределения, зависящем от . Требуется найти оценку для параметра по выборке
1.сл. Если - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности , то функцией правдоподобия называется функция, задаваемая следующим образом:

2.сл. Если - дискретная величина, с законом распределения ,то функция правдоподобия выглядит как и в случае 1.
Определение: Оценкой наибольшего правдоподобия – значение переменной , при котором L имеет наибольшее значение.
Обозначим оценку наибольшего правдоподобия
- то значение параметра, при котором, получившаяся на опыте выборка наиболее вероятна.
Для нахождения оценки наибольшего правдоподобия нужно исследовать L на максимум.
L=max, тогда и только тогда, когда
Необходимый признак экстремума
Для нахождения оценки наибольшего правдоподобия надо составить функцию L и решить уравнение (1) относительно

Требуется оценить по выборке коэффициент корреляции


Будем их использовать в качестве оценок для средне квадратичных отклонений величин
. Для оценки корреляционного момента будем использовать:
Выборочным коэффициентом корреляции называется оценка вида

Свойства
1.
2. состоятельная оценка коэффициента корреляции
3. смещенная оценка коэффициента корреляции, причем смещение стремится к 0, при n стремящимся к бесконечности.
Если близка к 1, то имеется сильная прямопропорциональная зависимость между
Если близко к -1, то зависимость между обратнопропорциональная
Если близко к 0, то данные не подтверждают наличие линейной зависимости между

a и b – неизвестны.
n различными способами выбрали значение аргумента и с помощью измерительного прибора определили соответствующее значение функции
Получили таблицу для случайного вектора.
Столбцам таблицы соответствует n точек на плоскости, которые
лежат на одной прямой y=a+bx, но т.к. приборы не точны, точки
почти всегда не будут лежать на одной прямой.
С геометрической точки зрения, задача в том, чтобы найти прямую, которая приближает точки наилучшем способом.
Для измерения расстояния между совокупностью точек и прямой можно использовать функцию:
Согласно методу наименьших квадратов прямой наилучшего приближения считают такую прямую, для которой величина S(a,b) является наименьшей из всех возможных.
Можно доказать, что такая прямая существует, и единственна.
Доказательство.

минимум.
В точке минимума выполняется:







Полученная система имеет единственное решение и
Величины и можно рассматривать, как статистические оценки неизвестных параметров a и b. Эти оценки являются несмещенными и состоятельными.
Если измерительный прибор не имеет систематической ошибки, и ошибка измерения распределена нормально, то оценки и являются оценками наибольшего правдоподобия для параметров a и b.

квадратов, получим прямую наилучшего приближения y=a+bx. Оказывается эта прямая тесно связана с ранее рассмотренными оценками.


Проверка этой формулы осуществляется подстановкой данных значений

в полученную нами систему.
Прямая (1) называется выборочной прямой регрессии на
Меняя местами и получим уравнение прямой регрессии на

нормального распределения при известном
3.2. Доверительный интервал для параметра a нормального распределения при неизвестном
3.3. Z – преобразование
3.4. Доверительный интервал для коэффициента корреляции нормально распределения случайного вектора

величина распределена по нормальному закону с параметрами и
при этом a – неизвестна, - известна. Требуется по заданной выборке для случайной величины найти доверительный интервал для параметра a, соответствующий заданной доверительной вероятности .
Рассмотрим выборочное среднее

Элементы выборки – независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с параметрами a и . Сумма нормально распределенных величин – нормально распределенная случайная величина. А линейная функция от нормальной случайной величина – нормально распределена. Поэтому случайная величина распределена по нормальному закону.
Рассмотрим

Таким образом

Значит

распределена по нормальному закону с параметрами a и причем оба не известны. Задана выборка и доверительная вероятность
Требуется найти доверительный интервал для a, соответствующий вероятности
Рассмотрим случайную величину

Теорема: случайная величина распределена по закону Стьюдента с параметром n-1.
Существует единственное положительное число , удовлетворяющее условию:


По теореме Стьюдента:

Тогда доверительный интервал выглядит следующим образом:

, которая носит название Z преобразование Фишера. Эта функция нечетная, монотонная на интервале (-1; 1) и определяет взаимно однозначное соответствие между интервалом (-1; 1) и множеством R.
Обратная функция к Z преобразованию – монотонно возрастающая , задается равенством:


Заметим ,что функции Z и достаточно просты и могут быть вычислены с помощью калькулятора.

Для нормально распределенного случайного вектора , и доверительная вероятность
Теорема: Случайная величина распределена приближенно по нормальному закону с параметрами и

Из теоремы Фишера следует, что

, тогда
Доверительный интервал для есть


Учитывая монотонность функции Z неравенство для выглядит так:






Таким образом доверительный интервал для параметра выглядит так::

ожиданий двух нормально распределенных случайных величин
4.3. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции нормально распределенного случайного вектора
4.4. Проверка гипотезы о функции распределения
4.5. Выбор из двух простых гипотез

основной и обозначается . Часто при проверке основной гипотезы вводят противоречащую ей гипотезу, которая называется альтернативной и обозначается .
Для проверки статистической гипотезы нужно сформулировать разумное правило принятия решения о том, какую из двух гипотез подтверждает данная выборка. Возможно 4 варианта:
Верна , но принимается
Верна , но принимается
Верна , и она принимается
Верна , и она принимается

В случаях 1 и 2 совершаются ошибки, которые называют соответственно ошибкой первого рода и ошибкой второго рода. Основная идея при формулировке правила принятия решения состоит в том, чтобы уменьшить вероятность ошибки первого рода, а если возможно, то и вероятность ошибки второго рода.

, причем
Число называется уровнем значимости.
Пусть гипотезы и утверждают нечто о поведении случайной величины и с каждой выборкой связано некоторое число называемое критерием. Критерий стараются подобрать так, чтобы закон распределения случайной величины при условии истинности был достаточно простым. В таких случаях удается сформулировать правило принятия решения с таким расчетом, чтобы вероятность ошибки первого рода равнялась .
Допустим, что при справедливости , - непрерывная случайная величина, с известной плотностью вероятности
Определение Критической областью, отвечающей уровню значимости называется конечный или бесконечный интервал (a, b), для которого выполняется равенство:


Если , то критическая область – левосторонняя, если , то критическая область – правосторонняя. Критическая область может быть двусторонней, в этом случае должно выполняться:
т.е. вероятность попадания критерия в критическую
область должна равняться

выборке попал в критическую область, то принимаем иначе принимаем .
При таком правиле вероятность ошибки первого рода равна . Критическую область можно выбрать многими способами. В некоторых случаях используя особенность функции f(x) удается выбрать критическую область так, чтобы вероятность ошибки второго рода была наименьшей, при вероятности ошибки первого рода равной
В таких случаях разумно выбирать именно такую критическую область.

даны выборки для двух нормально распределенных случайных величин и с
известными дисперсиями и . Также задан уровень
значимости L.

Требуется проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий величин и .
Основная гипотеза есть , что эквивалентно равенству
В качестве критерия возьмем нормально распределенную случайную величину
при справедливости гипотезы и при . Таким образом при справедливости имеем, что
Формулировка правила принятия решения зависит от вида альтернативной гипотезы.
Рассмотрим 2 возможных вида гипотезы

Случай 1
Случай 2

. Таким образом гипотеза равносильна . Поэтому в данном случае надо выбрать правостороннюю критическую область.
Пусть число удовлетворяющее и оно находится по таблице.
Правило принятия решения выглядит следующим образом:
Если , то принимается гипотеза , иначе принимается

областью. Найдем число
следующим образом:

В качестве критической области возьмем множество
Правило принятия решения выглядит так:
если , то принимаем гипотезу , иначе принимаем

дана выборка , для нормально распределенного вектора. По выборке найден выборочный коэффициент корреляции
В силу случайных факторов почти всегда не равна нулю. Возникает вопрос: можно ли по выборке сделать вывод, что коэффициент корреляции отличен от нуля?
Надо проверить гипотезу : при данном условии значимости
В качестве возьмем
Критерий выглядит следующим образом:

Теорема: Если , то величина K распределена по закону Стьюдента с параметром n-2 ( )
Выбираем двустороннюю критическую область . Число находится так
Правило принятия решения выглядит так:
если , то принимаем гипотезу , иначе принимаем

выборка для случайной величины и имеются основания предполагать, что величина имеет функцию распределения F, где F – неизвестная функция. Подтверждает ли выборка это предположение или противоречит ему?
В качестве возьмем утверждение , а в качестве возьмем
Для решения задачи используют так называемый критерий “ хи-квадрат ”.
Построим таблицу частот и вероятностей следующим образом. Разобьем числовую прямую на m интервалов и посчитаем частоту попадания элементов выборки в каждый интервал, а также вероятность попадания случайной величины в каждый интервал. Получим таблицу вида:

Замечание: при выборе интервалов нужно
руководствоваться смыслом задачи и тем, чтобы в каждом
интервале было как минимум 10 точек.




В качеству критерия возьмем величину
Теорема: если гипотеза верна, то случайная величина k распределена приближенно по закону

так, чтобы было правосторонней критической областью для распределения
вычисляем значение критерия
Если , то принимаем иначе принимаем альтернативную гипотезу.
Замечание: критерий можно применять и тогда, когда функция распределения F зависит от нескольких параметров, значения которых неизвестны. Например, если F - функция распределения нормальной случайной величины с неизвестными параметрами .
Тогда при условии истинности имеем , а все остальное остается без изменений.

ошибки первого рода также можно учитывать вероятность ошибки второго рода.
Пусть имеется случайная величина , распределенная по нормальному закону, причем
-неизвестна. И имеется основание предполагать, что справедлива одна из двух гипотез



Какую из гипотез подтверждает данная выборка:
Зафиксируем вероятность ошибки первого рода
Схема принятия решения.
Выбираем точку С между и вычисляем . Если , то принимаем , иначе принимаем
Выбор числа С осуществляется таким образом, чтобы вероятность ошибки первого рода равнялась

, то подчинена нормальному закону распределения с параметрами , поэтому и соответственно


Пусть единственное решение уравнения . Это уравнение равносильно

Из единственности числа следует

получаем следующее уравнение:



При справедливости имеем, что:





Выбираем в качестве с – число:



Таким образом можно сделать вероятность ошибки второго рода равной

равнялись соответственно и
При фиксированном объеме выборки этого добиться невозможно, т.к (1) и (2) – несовместимы. Но по любым и можно найти объем выборки, при котором вероятности ошибок равны соответственно и . Для этого нужно решить систему уравнений относительно

величин
Понятие о методе Монте-Карло
Особенности метода Монте-Карло