Презентация, доклад по геометрии для 10 класса по теме Параллельность прямых и плоскостей

И ПЛОСКОСТИ

4) ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

5) СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ

6) СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

одной
плоскости и не пересекаются.

α

а

b

{а,b} є α

а ║ b

называются скрещивающимися.

α

а

b

а є α

b ∩ α

a х b

и притом только одну.

Дано:

А є а

Доказать:

А є а1

а1 ║ а

а1 – единственная прямая

ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

аксиомы А є а1, а1 ║ а.

Пусть существует
а2 ║ а А є а2.

Тогда {а, а2} є α2,

т.е. {а, А} є α2

α = α2

а1 = а2,
т.е. а1 – единственная прямая.

а

а2

А

α2

параллельны.

a ║ с, b ║ c

a ║ b

α.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

М

a

b

c

Предположим, что a || b

a ∩ b = М

М є {a,b}.

По условию a || c и b || c.

Это противоречит аксиоме

Предположение, что a || b
не верно

a // b

плоскости, т.е. {a, b, c} є α.

Пусть {a, с} Є γ, {b, c} Є β

β ≠ γ

Пусть B Є b.

Проведём через a и B плоскость γ1.

a

c

b

β

γ

В

γ1

γ1 ∩ β = b1.

b1

b1 ∩ γ

точка, пересечения должна Є c, т.к. b1 Є β.
С другой стороны она должна Є a, т.к. b1 Є γ1.
=>, a ∩ c

Это противоречит условию,
что а || c.

Итак, b1 є β и b1 ∩ c

b1 || c

по аксиоме b = b1

плоскости, т.е. {a, b, c} є α.

Пусть {a, с} Є γ, {b, c} Є β

β ≠ γ

Пусть B Є b.

Проведём через a и B плоскость γ1.

a

c

b

β

γ

В

γ1

γ1 ∩ β = b1.

b1

b1 ∩ γ

точка, пересечения должна Є c, т.к. b1 Є β.
С другой стороны она должна Є a, т.к. b1 Є γ1.
=>, a ∩ c

Это противоречит условию,
что а || c.

Итак, b1 є β и b1 ∩ c

b1 || c

по аксиоме b = b1

{b,a} є γ1 и b ∩ a

a || b

МN И АВ

4) МР И АС

5) КN И АС

6) МД И ВС

какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

a ║ α

бы a ∩ α, то точка пересечения принадлежала бы прямой b.

а || α

Доказательство:

Это невозможно, т.к. a ║ b.

плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано: а ϵ α; в ϵ α;
а ∩ в = М;
а1 ϵ β; в1 ϵ β;
а║а1; в║в1

Доказать: α || β

ϵ α; в1 ϵ β; в║в1? в║β

Пусть α ∩ β = с

Тогда
а || β, α ∩ β = с ? а || с.
b || β, α ∩ β = с ? b || с.

а ∩ в = М; а║с и в║с ? а||b

Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
Предположение α ∩ β = с - неверно

α || β

притом только одну.

α

β

М

Доказать:
что существует
плоскость β такая, что
М ϵ β и α || β

т. М проведём а1 || а и b1 || b

По признаку параллельности
прямой и плоскости β || α

Предположим, что через т. М проходит другая плоскость
β1 || α

М

β1

Отметим на плоскости β1
т. С не лежащую в плоскости β

С

В

Отметим на плоскости α
т. В

Через точки М, С, В проведём плоскость γ

γ

b1
γ ∩ β1 = CМ

С

В

Через т. М проходит две прямые, параллельные прямой b.

Это противоречит теореме о параллельных прямых.

γ

d

b1 ∩ b
СМ ∩ b
т.к. не пересекают плоскость α

β и β1 совпадают

ПЛОСКОСТИ. ВЫБЕРИТЕ ВЕРНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:

А) прямая АВ параллельна прямой СД
Б) прямая АВ пересекает прямую ВД
В) прямая АС пересекает прямую ВД
Г) прямые АС и ВД – скрещиваются.

α, точка Д, не принадлежащая прямой
АВ, - проекция точки С на плоскость α. Точка Т –
середина АВ. Выберите верное утверждение.

А) прямые СТ и АВ не пересекаются
Б) прямые СТ и АВ параллельны
В) прямые ВТ и АД пересекаются
Г) прямые АТ и ВД скрещивающиеся.

α и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие
плоскость α в точках А1, В1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1 = 12см, а ВВ1 = 6см.

А) 6см
Б) 9см
В) см
Г) другой ответ

и АС в точках М и N соответственно. Найдите длину отрезка ВС, если МN=6см, а АМ : МВ = 3 : 5.

А) 16см
Б) 4,8см
В) 12см
Г) другой ответ

параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А1, В1, С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1=6см, ВВ1=13см, а АС : СВ = 2 : 5. Отрезок АВ не пересекает плоскость α.

А) 9,5см
Б) 7см
В) 8см
Г) другой ответ

А, В, Д на плоскость α, причём точка Д принадлежит отрезку АВ. Найдите АВ, если МN=12см, NР=8см, ВД=14см.

А) 21см
Б) 28см
В) 24см
Г) другой ответ

при параллельном
проектировании может быть…

А) параллелограммом или трапецией
Б) только трапецией
В) отрезком или трапецией
Г) ромбом или трапецией.

ПЛОСКОСТИ. ВЫБЕРИТЕ НЕВЕРНОЕ
УТВЕРЖДЕНИЕ:

А) прямая ВС параллельна прямой АД
Б) прямая АС пересекает прямую ВД
В) прямая АД пересекает прямую ВС
Г) прямые АВ и СД – скрещиваются.

α, точка С, не принадлежащая прямой
АД, - проекция точки В на плоскость α. Точка F –
середина АВ. Выберите неверное утверждение.

А) прямые FД и АС пересекаются
Б) прямые FС и АД скрещиваются
В) прямые ВС и FC пересекаются
Г) прямые ВС и АД скрещивающиеся.

пересечения параллельны.

b

Доказать:

a || b

α

β

γ

a

b

{a,b} є γ

γ ∩ β = b (по условию),

b є γ

2) γ ∩ α = а (по условию),

a є α

α || β (по условию)

a || β

3) γ ∩ β = b (по условию),

b є β

a ∩ b

4) {a,b} є γ, a ∩ b,

a || b

α

β

a

b

γ

α = B

a ∩ β = A’
b ∩ β = B’

Доказать:

AA’ = BB’

α

β

a

b

A

B

A’

B’

свойству параллельных плоскостей
AB || A’B’

ABA’B’- # (т.к. AB || A’B’, AA’ || BB’)

AA’ = BB’

α

β

a

b

γ

A

B

A’

B’

ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости α и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости α?
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и третья сторона параллельна плоскости α?

Да
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
Плоскости α и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости α? Да
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости α, то и третья сторона параллельна плоскости α? Да