Презентация, доклад по алгебре Прогрессии в окружающей нас жизни

Содержание

Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни

Слайд 1Петя довольный пришел из школы и предложил папе заключить сделку:
в

учебном году 34 недели;
за 1 неделю Петя получит 1 копейку,
за вторую - 2 копейки,
за третью - 4 копейки и т.д….


Как вы думаете, в каком классе учится Петя, и что нового он узнал в школе?

Петя довольный пришел из школы и предложил папе заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1

Слайд 2Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни

Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни

Слайд 3 В 9 классе мы изучили прогрессии: дали

определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Актуальность исследования
(Почему это важно для нас?):

В 9 классе мы изучили прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой

Слайд 4по страницам школьных учебников
Прогрессий в повседневной жизни
Прогрессии
в природе
Прогрессии в

банковских расчётах и промышленности.

Прогрессии в старых учебниках по математике

прогрессии в книгах по занимательной математике

выводы

по страницам школьных учебников Прогрессий в повседневной жизниПрогрессии в природеПрогрессии в банковских расчётах и промышленности.Прогрессии в старых

Слайд 5 Арифмети́ческая прогре́ссия —
числовая последовательность, в которой

каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.
Имеет вид: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…


Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.
Имеет вид: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…
Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается

Слайд 6Формулы
Арифметическая прогрессия














Геометрическая прогрессия
























Формулы Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия

Слайд 7Информационная модель (схема) сравнения арифметической и геометрической прогрессий
Установите
«родство»
прогрессий
a1, a2, a3, .

. .

an+1=an+d

bn+1=bn ·q

an=а1+d (n-1)

bn = b1qn-1

d = an -а1

q =bn+1:bn





характеристические
свойства

Информационная модель (схема) сравнения арифметической и геометрической прогрессийУстановите«родство»прогрессийa1, a2, a3, . . .an+1=an+dbn+1=bn ·qan=а1+d (n-1) bn =

Слайд 8Сравнение арифметической и геометрической прогрессий
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
an=а1+d (n-1)
bn = b1qn-1
d

= an -а1

q =bn+1:bn

Прочитав определения
арифметической
и геометрической
прогрессий
можно обратить внимание
на то, что они похожи.
Надо лишь заменить
сложение
умножением.
А зная формулу n-го члена
арифметической
прогрессии,
можно получить
формулу
для геометрической
прогрессии,
если заменить сложение
умножением и умножение –
возведением в степень

Сравнение арифметической и геометрической прогрессийan+1=an+dbn+1=bn ·qan=а1+d (n-1) bn = b1qn-1 d = an -а1q =bn+1:bnПрочитав определения

Слайд 9Определения (оба сразу!)
Числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго,
равен

предшествующему члену,
сложенному с одним и тем же числом,
умноженному на одно и то же число,
называется
арифметической
геометрической
прогрессией
Определения (оба сразу!)Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и

Слайд 10

“Родство” прогрессий становится еще более заметным,
если сравнить их характеристические свойства.


Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением,
а деление на два - извлечением корня второй степени,
и из характеристического свойства
арифметической прогрессии
получится характеристическое свойство
геометрической прогрессии
“Родство” прогрессий становится еще более заметным, если сравнить их характеристические свойства. Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением,

Слайд 11Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий (оба сразу!)

Любой член

арифметической прогрессии,
геометрической

начиная со второго, является

средним арифметическим
геометрическим
предшествующего и последующего членов.


Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий (оба сразу!)Любой член арифметической прогрессии, геометрическойначиная

Слайд 12Имеют ли
арифметическая и геометрическая прогрессии
прикладное значение
в повседневной жизни?

Имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение в повседневной жизни?

Слайд 13
Задача 1

Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили

купить ему новый мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев?
…

Задача 1 Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить ему новый мобильный телефон. Для

Слайд 14
Задача 2
В соревновании по стрельбе за каждый промах в

серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Задача 2 В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал

Слайд 15
Задача 3
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в

первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Задача 3 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель,

Слайд 16Решение. Составим математическую модель задачи:
5, 10, 15,…,40,

40, 40, 35, 30,…,5




ап=а1+d(n-1),
40=5+5(п-1),
п=8,
, ,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.



возрастающая
арифметическая
прогрессия
а1=5, d=5

убывающая
арифметическая
прогрессия
с1=5, d=-5

Решение. Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

Слайд 17
Задача 4



Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту

1400м, а затем каждый следующий день они проходи на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?




Задача 4 Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400м, а затем каждый следующий день

Слайд 18Задача 5
При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а

в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с после начала падения.

Решение. Составим математическую модель задачи:
в первую секунду 5м,
во вторую секунду 15м,
в третью секунду 25м,
в четвертую секунду 35м,
в пятую секунду 45м.
Всего за пять секунд 5+15+25+35+45=125(м).
Ответ: глубина шахты 125м.


Задача 5При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше.

Слайд 19Прогрессии
в природе

Прогрессии в природе

Слайд 20ИНФУЗОРИИ…
Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.
Вопрос: сколько будет инфузорий после

15-го размножения?

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии

ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?Все организмы обладают интенсивностью размножения

Слайд 21РЕШЕНИЕ
b15 = 2·214 = 32 768
Численность любого вида при отсутствии ограничений

растёт в соответствии с геометрической прогрессией;
Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой.




РЕШЕНИЕ b15 = 2·214 = 32 768Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической

Слайд 22 Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится

на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением.

бактерии…

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух

Слайд 23В благоприятных условиях бактерии размножаются так,
что на протяжении одной минуты

одна из них делится на две.
а)Сколько бактерий рождено на 9-й минуте
от одной исходной?
б)Какова колония, рожденная одной бактерией за 5 минут?

а)на 1-ой минуте 2
на 2-ой минуте 4
на 3-ей минуте 8
на 4-ой минуте 16
на 5-ой минуте 32
на 6-ой минуте 64
на 7-ой минуте 128
на 9-ой минуте 256







б) 2+4+8+16+32= 52

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.а)Сколько

Слайд 24 Способность к размножению у бактерий настолько велика, что

если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

бактерии…

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от

Слайд 25Задача
Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты

делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение.
S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=
= 4 722 366 482 869 645 213 695.
Задача Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из

Слайд 26
Всего бактерий 4 септиллиона 722 сектиллиона 366 квинтиллионов 482 квадриллионов 869

триллиона 645 миллиарда 709 миллионов 213 тысяча 695
Всего бактерий 4 септиллиона 722 сектиллиона 366 квинтиллионов 482 квадриллионов 869 триллиона 645 миллиарда 709 миллионов 213

Слайд 27Интенсивность размножения бактерий используют…

в пищевой
промышленности
(для приготовления
напитков,
кисломолочных


продуктов,
при квашении, солении и др.)


в сельском
хозяйстве
(для приготовления
силоса, корма
для животных и др.)


в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)



в коммунальном
хозяйстве и
природоохранных
мероприятиях
(для очистки сточных
вод,ликвидации
нефтяных пятен)

Интенсивность размножения бактерий используют… в пищевой промышленности (для приготовлениянапитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.)в

Слайд 28 “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также

скоро как лев”.
Карл Линней Девятое поколение одной
пары мух наполнило бы куб,
сторона которого равна 140 км,
или же составило бы нить,
которой можно опоясать земной
шар 40 млрд. раз.

мухи…

“Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”.

Слайд 29 “Потомство одного одуванчика за 10 лет может

покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.
К. А. Тимирязев

одуванчик…

“Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше

Слайд 30ЗАДАЧА
Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и

даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?


б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?
ЗАДАЧА Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих

Слайд 31ОТВЕТ
Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и

даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?
[1012 км2]

б) Хватит ли этим растениям на 11-й год места на поверхности суши земного шара?
[нет, Sсуши = 148 млн км2]
ОТВЕТ Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр и даёт в год около 100 летучих

Слайд 32ТЛИ…
Всего за пять поколений, то
есть за 1 – 1,5 летних

месяцев,
одна единственная тля может
оставить более 300 млн.
потомков, а за год её потомство
способно будет покрыть
поверхность земного шара слоем
толщиной почти в 1 метр.
ТЛИ… Всего за пять поколений, тоесть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля можетоставить более

Слайд 33ВОРОБЬИ
Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре

года может покрыть весь земной шар за 35 лет.
ВОРОБЬИПотомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар

Слайд 34Еще две биологические задачи
При каждом делении амёбы получается две новые

особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?


Еще две биологические задачи При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6

Слайд 35Прогрессии
в банковских расчетах,
в промышленности,
в разных отраслях науки,
в сельском хозяйстве


Прогрессии в банковских расчетах, в промышленности,в разных отраслях науки,в сельском хозяйстве

Слайд 36Как сосчитать количество бревен?
Представьте, что вы –

учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.
В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.
















Как сосчитать количество бревен? Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество

Слайд 37

Задача 1:






При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Задача 1:

Слайд 38Задача 2

За один день было вспахано 100 га пашни, а в

каждый последующий - на 3 га больше, чем в предыдущий. Сколько гектаров пашни было вспахано за 19 дней?





Задача 2За один день было вспахано 100 га пашни, а в каждый последующий - на 3 га

Слайд 39Прогрессии и банковские расчеты
Представьте себе, что вы открыли в банке

вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере р., либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?

В первом случае при t = 1 вы получите (а + )р., при
t = 2 ваша итоговая сумма составит (а + )р., при t = 3
(а + )р. и т. д. Математическая модель ситуации — конечная
арифметическая прогрессия а, а + , а + ,а + …, а + .
Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получит)
а(1 + )— это так называемая формула простых процентов







Прогрессии и банковские расчеты Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под

Слайд 40Прогрессии и банковские расчеты

Если вы решили прийти в

банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а + )р., т. е. а (1 + )р.; сумма вклада увеличится в (1 + )раз. Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д.
Математическая модель ситуации — конечная геометрическая прогрессия а, а(1 + ), а(1 + )2,а(1 + )3,…, а(1 + )t.
Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите
а(1 + )tруб..— это так называемая формула сложных процентов.


Прогрессии и банковские расчеты Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада,

Слайд 41Прогрессии и банковские расчеты
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть вклад

составляет 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок
хранения вклада - 5 лет.

Если вы выбрали стратегию простых процентов,
то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму,
равную10 000 • (1 + ) , т. е. 15 000 р.

Если же вы выбрали стратегию сложных процентов,
то к концу срока хранения вы получите

в итоге сумму, равную 10 000 • ( 1 + )5, т. е. 16 105,1 р.

Как говорится в одном рекламном слогане «Почувствуйте разницу»




Прогрессии и банковские расчеты Рассмотрим конкретный пример. Пусть вклад составляет 10 000 р., банк дает

Слайд 42 Директора двух заводов А и В

встретились на совещании. Из их беседы выяснилось, что оба завода выпустили за последний год одинаковые количества продукции, а именно по 1000 т металлических изделий. На совещании было решено добиваться дальнейшего роста продукции, причём был намечен ежегодный прирост на 40%.

Задачи на прогрессии

Директора двух заводов А и В встретились на совещании. Из их беседы

Слайд 43Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после

совещания его завод выпустил на 40% больше, чем раньше, т. е. на две пятых, а именно:
1000 +1000 • 2/5 = 1000 + 400 =1400.

За второй год завод выпустил ещё на 400 т больше,
т. е.
1400 + 400=1800,
и так далее. В результате выпуск изделий за последующие 4 года оказался таким:

до совещания.......1000,
1-й год..........1400,
2-й »........ 1800,
3-й ».......... 2200,
4-й ».......... 2600.
Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после совещания его завод выпустил на 40%

Слайд 44Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он

выпустил на 40% больше, чем раньше, т. е.
1000 +1000 • 2/5 =1400 т.
За второй год директор завода В добился дальнейшего, роста производительности труда, и завод выпустил за второй год на 40% больше, чем за первый год:
1400 + 1400 • 2/5 = 1400 + 560 = 1960 т.
На третий год он составил план по тому же принципу: опять увеличить выработку на 40% по сравнению с предыдущим годом:
1960+ 1960 • 2/5 = 1960 + 784 = 2744 т.
За четвёртый год завод В дал такую выработку:
2744 + 2744 • 2/5 = 2744 + 1098 = 3842.
В результате выпуск изделий заводом В оказался следующим:
до совещания.......1000,
1-й год..........1400,
2-й »........ 1960,
3-й ».......... 2744,
4-й ».......... 3842.
Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он выпустил на 40% больше, чем раньше,

Слайд 45

Через 4 года директоры заводов А и В снова встретились на совещании и сравнили выработку обоих заводов. Оказалось, что завод В выпустил значительно больше изделий, чем завод A.

Завод А сохранял всё время одну и ту же надбавку, равную 400 т в год. Завод В сохранял неизменным отношение выработки двух соседних лет, т. е. коэффициент увеличения k = 7/5 .

Через 4 года

Слайд 46Представим на графике продукцию
того и другого завода

Представим на графике продукцию того и другого завода

Слайд 47О финансовых пирамидах:
Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в

свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.
О финансовых пирамидах: Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что,

Слайд 48О финансовых пирамидах:
Решение.
Дело в том, что число участников увеличивается в

5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.


О финансовых пирамидах: Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом.

Слайд 49 Задачи на применение прогрессий встречаются
в старых учебниках
по математике



Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике

Слайд 50Задача 1.
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок

растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки?

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Задача 1. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью

Слайд 51
Задача 2.
Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы

за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15 – ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р 90 коп?
Задача 2. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили

Слайд 52
Некто продавал коня и просил за него 156 руб. Купец сказал,

что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь четверть копейки, за второй гвоздь –половину копейки, за третий гвоздь – одну копейку и т.д., за каждый гвоздь в два раза больше, чем за предыдущий.
Купец ,соблазнённый низкой ценой и желая даром получить коня, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.
На сколько проторговался
купец?

Некто продавал коня и просил за него 156 руб. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая

Слайд 53Рассмотрим геометрическую прогрессию, в которой

Воспользуемся формулой для нахождения суммы n

первых членов геометрической прогрессии





То есть приблизительно 42 тысячи рублей!
Рассмотрим геометрическую прогрессию, в которой Воспользуемся формулой для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессииТо есть приблизительно

Слайд 54 В «Сборнике алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников

Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз, 1949) было найдено двадцать задач на арифметическую прогрессию.
В «Сборнике алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз,

Слайд 55Ещё две старинные задачи:
Шли семь старцев У каждого старца по семь костылей;

На каждом костыле по семь сучков; На каждом сучке по семь кошелей; В каждом кошеле по семь пирогов; В каждом пироге по семь воробьёв. Сколько всего воробьёв?
Ответ: 117649 воробьёв
Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?
Ответ: 16807 горстей



Ещё две старинные задачи:Шли семь старцев У каждого старца по семь костылей; На каждом костыле по

Слайд 56 Задачи на применение прогрессий встречаются
в книгах
по занимательной математике

Задачи на применение прогрессий встречаются в книгах по занимательной математике

Слайд 57 Царь древней Индии Шерам пригласил к

себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы
награду хотел бы он получить за изобретение столь
мудрой игры.
Тогда Сета попросил царя на первую клетку
шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна,
на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую
клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку.
Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу
изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу.
Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком
“ничтожной” для выполнения этой просьбы.

Древняя индийская легенда

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил,

Слайд 58

Столько зёрен должен был получить изобретатель шахмат:
S64=264-1=
=18446744073704551615

Столько зёрен должен был получить изобретатель шахмат: S64=264-1==18446744073704551615

Слайд 59
Всего зерен 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона)

709 миллионов 551 тысяча 615
Всего зерен 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709 миллионов 551 тысяча 615

Слайд 60 Действительно, чтобы выполнить эту просьбу, потребовалось бы

количество зерен, равное сумме 1 + 2 + 22 +.. + 263, а эта сумма равна 18446744073709551615.
Если считать, что 1 пуд зерна содержит 40000 зерен, то для выполнения просьбы потребовалось бы 230 584 300 921 369 пудов зерна. Если полагать, что в среднем ежегодно собирается 1 000 000 000 пудов зерна, то для выполнения указанной просьбы нашей стране нужно работать (не расходуя ни одного зерна) на протяжении 230584 лет.
Действительно, чтобы выполнить эту просьбу, потребовалось бы количество зерен, равное сумме 1 +

Слайд 61 Приходит как-то раз к одному

богатому
купцу мужик и предлагает сделку.
«Давай, говорит, в течение месяца я
буду приносить тебе каждое утро по
100000 руб, а ты мне взамен в первый
день отдашь 1 коп, а в каждый последую-
щий в 2 раза больше. Во второй день-
2 коп, в третий- 4 коп и т.д.»
Подумал купец и подписал договор.

Кому выгодна сделка?

Приходит как-то раз к одному богатому купцу мужик и предлагает сделку.

Слайд 62Сумма, которую получит купец
Sкупец= 100000руб х 30дней =

=3000000руб
Сумма, которую получит купецSкупец= 100000руб х 30дней = =3000000руб

Слайд 631-ый день- 1коп
2-ой день- 2коп
3-ий день- 4коп
4-ый день-

8коп
5-ый день- 16коп
6-ой день- 32коп
7-ой день- 64коп
8-ой день- 1р 28коп
9-ый день- 2р 56 коп
10-ый день- 5р 12 коп
11-ый день- 10р 24 коп
12-ый день- 20р 48 коп
13-ый день- 40р 96 коп
14-ый день- 81р 92 коп

1-ый день- 1коп2-ой день- 2коп3-ий день- 4коп4-ый день- 8коп5-ый день- 16коп6-ой день-

Слайд 64


А время шло….


20-ый день - 5242р 88 коп
21-ый

день- 10485р 76 коп
22-ый день- 20971р 52 коп

Последние дни

28-ый день - 1 342 177р 28 коп
29-ый день - 2 684 354р 56 коп
30-ый день - 5 368 709р 12 коп



А время шло….20-ый день - 5242р 88 коп21-ый день- 10485р 76 коп 22-ый день-

Слайд 65купец получил 3000000 руб



мужик - 10737418руб23коп

Без малого 11 миллионов!!!
разница составляет
7737418руб

23коп !!!
Так кому выгодна эта сделка?





Сравним доходы:

купец получил 3000000 рубмужик - 10737418руб23копБез малого 11 миллионов!!!разница составляет 7737418руб 23коп !!!Так кому выгодна эта сделка?Сравним

Слайд 66О поселковых слухах:
Удивительно, как быстро разбегаются по

городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь город: все о ней знают, все слышали.
Итак, задача:
В городе 42 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна всему городу?




О поселковых слухах: Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет

Слайд 67Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым:

приезжему и трём местным жителям.
Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим
. Это потребовало также четверти часа.
Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек.
Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:




Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав

Слайд 68в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121
9.15

121+81 ·3 =364

9.30 364+243 ·3=1093

9.45 1093+729 ·3=3280

10.00 3280 + 2187 ·3 =9841

10.15 9841+ 6561 ·3=29524

10.30 29524+19683=49207
Т.е через 2,5часа
эту новость узнает весь город




в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 9.15

Слайд 69Задачи на прогрессии есть
и в книгах Я.И. Перельмана

Задачи на прогрессии есть и в книгах Я.И. Перельмана

Слайд 70Выводы.
Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно,

что нельзя говорить о том, кто их открыл.
Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.
Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической
Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).
Выводы. Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто

Слайд 71
Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием

мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.


Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при

Слайд 72Петя довольный пришел из школы и предложил папе
заключить сделку: в

учебном году 34 недели; за 1 неделю Петя получит
1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д.

Петя должен получить

171798691,83руб


234-1

Петя довольный пришел из школы и предложил папе заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1
Скачать презентацию

Похожие презентации

Презентация по алгебре Решение показательных уравнений Презентация по алгебре Решение показательных уравнений 204
Презентация внеурочного занятия по математике для учащихся 7-9 классов Презентация внеурочного занятия по математике для учащихся 7-9 классов 250
Презентация к уроку алгебры в 8 классе Степень с целым отрицательным показателем. Презентация к уроку алгебры в 8 классе Степень с целым отрицательным показателем. 447
Презентация по теме: Решение задач на концентрацию, сплавы, движение (9-11 классы) Презентация по теме: Решение задач на концентрацию, сплавы, движение (9-11 классы) 265
Презентация по математике для 8-9 класса Решение неполных квадратных уравнений Презентация по математике для 8-9 класса Решение неполных квадратных уравнений 273
Презентация по математике Линейная функция, её свойства и график 7 класс Презентация по математике Линейная функция, её свойства и график 7 класс 217

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть