Презентация, доклад по алгебре на тему Функция, определение функции, чётные и нечётные функции, построение графиков

в геометрической форме устанавливается взаимно обратная зависимость действий дифференцирования и интегрирова-ния (розумеется, без употребления самих этих понятий). Это свидетельствует уже о совершен-но чётком владении понятием Функции.

В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона.

Путь развития понятия функции

С. Лакруа (1810) говорится: “Всякая величина, значение которой зависит от одной или нескольких других величин, называется функцией этих последних.”

В “Аналитической теории тепла” Ж. Фурье (1822) есть такое высказывание: ”Функция f(x) обозначает функцию совсем произвольную, тоесть последова-тельность данных, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значени-ям х, которые находятся между 0 и каким-нибудь значением х.

Ж. Фурье

Развитие функции в 19 веке.

и при том не совсем в современном его понимании. Лейбниц называет функцией разные отрезки, связанные абсциссами её точек с точками кривой линии

Г. Лейбніц

Первое определение функции в понимании, близком к современному, встречается у Я.Бернулли (1718): "Функция-это величина, составленная из переменной и постоянной"

Функция

принадлежит Дирихле и произнесено в 1837 г., неоднократно предлагалось и до него. Оно звучит так: «Две переменных величины х и у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может приобре-тать х, отвечает одно и только одно значение у.

Современное определение Функции

множество значений функции. 
3. Какие способы задания функции вы знаете? Что называется графиком функции? 
4.Графиком какой функции является прямая?

Числовая функция

Как размещен график чётной функции на координатной плоскости?
3. Какая функция называется нечётной? Как размещен график нечётной функции на координатной плоскости? 4. Какая функция называется ограниченной (неограниченной)?

СВойства функции

Итак, если f (x) < 0, то значения этих функций являются противо-положными числами. Поэтому график функции y = |f (x)| можно получить так: строим график функции y = f (x) и ту его часть, которая расположена ниже оси x, симметрично отображаем относительно этой оси.

График функции

если

если

следует, что для любого значения x из области её определения
имеем: . Итак, график симметричен относительно оси у.
Учитывая, что при будем иметь: , строим график
функції , где , и симметрично отображаем его
относительно оси у.

График функции

любого x из области определения f (–x) = f (x).
Определение. Функцию f называют нечётной, если для любого x из об-ласти определения f (–x)= = –f (x).
Очевидно, что функция y = x2 -чётная, а функция y = x3 - нечётная.

или равенства
f (–x) = –f (x) для любого x ∈ D (f) значит, что область определения функции f имеет такое свойство: если x0 ∈ D(f), то –x0 ∈ D(f). Такое множество называют симметричным относи-тельно начала координат.
Если область определения функции не симметрична относительно начала координат, то эта функция не может быть чётной или нечётной.
Например, областью определения
функции является множество

(–∞; 1) ∪ (1; +∞), которое не симметрично относительно начала координат. Поэтому эта функция не является ни чётной, ни нечётной.

Решение.
Так как D (f) = R, то область определения функции f симметрична относительно начала координат.
Для любого x ∈ D(f) имеем f (–x) = (–x)3 – (–x) = –x3 + x = –f (x).
Итак, функция f является нечётной.

D(f)=(- ; -1) (-1;1) (1; )
Итак, область определения функции симметрична относительно начала координат. Для любого х D(f) имеем:

f(-х)= = = f(х).

Итак, функция является чётной.

= х min

ymax

ymin

y

y

x

x

O

O

Пусть x 0 - cтационарная точка.

Правило1. Если для всех

и для всех

то

х 0 = х max .

Если для всех

и для всех

то

х 0 = х min.

a

a

b

b

max .

2. Если

то

х 0 = х min.

Это правило нельзя применять при исследовании на экстремум тех точек, в которых производная первого порядка не существует, а также ко стационарным точкам, в которых производная второго порядка равна нулю. В таких случаях нужно использовать первое правило.

b].
Чтобы найти наибольшее ( наименьшее ) значение функции на отрезке [a; b], нужно:
найти все локальные максимумы (минимумы);
значения функции на концах отрезка;
наибольшее ( наименьшее) число полученного множества и будет наибольшим ( наименьшим ) значением функции на [a; b].
min f (x)=f (a) ; max f (x)=f (c) ;
[ a; b] [ a; b]

функции.
Чётность, нечётность, периодичность.
Стационарные точки.
Точки экстремума и промежутки монотонности.
Построение графика.

2

5. у =

.
2. Составить уравнение касательной к кривой у = в точке с абсциссой Х=1 и проиллюстрировать решение.
3. Построить график функции и исследовать её на экстремум.

Вариант №2
1. Найти область определения функции у = .
2. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой Х=1 и проиллюстрировать решение.
3. Построить график функции и исследовать её на экстремум.