Презентация, доклад по алгебре Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Содержание

«Кто приобрёл навык общаться легко и свободно со всевозможными алгебраическими и геометрическими выкладками, приобрёл умение выражать мысли ясным и точным языком, тот смело может взяться за любую отрасль самостоятельных знаний».

Слайд 1 Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Слайд 2«Кто приобрёл навык общаться легко и свободно со всевозможными алгебраическими и

геометрическими выкладками, приобрёл умение выражать мысли ясным и точным языком, тот смело может взяться за любую отрасль самостоятельных знаний».
Д.И.Писарев


«Кто приобрёл навык общаться легко и свободно со всевозможными алгебраическими и геометрическими выкладками, приобрёл умение выражать мысли

Слайд 3Задачи:
обобщить знания по теме «Методы решения систем двух линейных уравнений с

двумя переменными»;
расширить представления о методах решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными;
продолжить формирование информационных навыков с научными текстами, коммуникативных – работе в паре, в группе;
воспитывать волю и настойчивость при решении систем уравнений

Цель: систематизировать знания по теме «Методы решений систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задачи:обобщить знания по теме «Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными»;расширить представления о методах решения

Слайд 4Историческая справка.
Основные понятия.
Графический метод.
Метод подстановки.
Метод алгебраического сложения.
Правило Крамера.
Системы линейных уравнений с

параметрами.

Содержание проекта:

Историческая справка.Основные понятия.Графический метод.Метод подстановки.Метод алгебраического сложения.Правило Крамера.Системы линейных уравнений с параметрами. Содержание проекта:

Слайд 5Механическое правило решения систем двух линейных уравнений по их коэффициентам
(с

помощью определителей) дал в своей книге
"О великом искусстве"
в 1545 году итальянский математик Джероламо Кардано.

Историческая справка

Механическое правило решения систем двух линейных уравнений по их коэффициентам (с помощью определителей) дал в своей книге

Слайд 6Франсуа Виет - французский математик. По профессии юрист.

В 1591 ввёл

буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами.

Историческая справка

Франсуа Виет - французский математик. По профессии юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных

Слайд 7Габриэ́ль Кра́мер
(31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)

— швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.

Историческая справка

Габриэ́ль Кра́мер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) — швейцарский математик, ученик и друг

Слайд 8Общий вид системы двух линейных уравнений с двумя переменными x и

y:



Решение системы – это пара чисел (x; y), при подстановке которых каждое уравнение превращается в верное равенство.

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Основные понятия.





Общий вид системы двух линейных уравнений с двумя переменными x и y:Решение системы – это пара чисел

Слайд 9Какие бывают системы?

Какие бывают системы?

Слайд 10 графический метод;

метод подстановки;

метод алгебраического сложения
Методы решения систем двух

линейных уравнений с двумя переменными:
графический метод; метод подстановки; метод алгебраического сложенияМетоды решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными:

Слайд 11Графический метод решения систем, как и графический метод решения уравнений, красив,

но ненадежен.
Даже если графики уравнений удалось построить, точки пересечения могут быть не такими ‘’хорошими’’, как в специально подобранных примерах учебника, а то и вовсе могут оказаться за пределами чертежа.

Графический метод

Графический метод решения систем, как и графический метод решения уравнений, красив, но ненадежен.Даже если графики уравнений удалось

Слайд 12В уравнениях системы выразить y через x так, чтобы получить функции.

Построить графики этих функций в одной системе координат.
Найти координаты точек пересечения графиков.
Выписать ответы пары чисел, которые служат координатами точек пересечения графиков.


Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными графическим методом

В уравнениях системы выразить y через x так, чтобы получить функции. Построить графики этих функций в одной

Слайд 132
Решение:
В уравнениях системы выразить y через x:


а) Построим график уравнения y

= 3x - 1. Это прямая, проходящая через точки (0; -1) и (1;2).
б) Построим график уравнения y = -2x + 4. Это прямая, проходящая через точки (0;4) и (2;0).

Пример 1: Решить графически систему:









y

x

2

1

4

0

3x - y -1= 0

2x + y – 4 = 0





-1

2Решение:В уравнениях системы выразить y через x:а) Построим график уравнения y = 3x - 1. Это прямая,

Слайд 142
Прямые пересекаются в точке (1;2)
4) Проверка показывает, что на самом деле

пара (1;2) является решением каждого уравнения системы, а значит, решением системы уравнений.

Ответ: (1;2).

Пример 1(продолжение):









y

x


2

1

4

0

3x - y -1= 0

2x + y – 4 = 0





-1

2Прямые пересекаются в точке (1;2)4) Проверка показывает, что на самом деле пара (1;2) является решением каждого уравнения

Слайд 15Решение:
В уравнениях системы выразить y через x:

а) Построим график уравнения


y = -0,5x + 2,5. Это прямая, проходящая через точки (5; 0) и (1;2).
б) Построим график уравнения
y = -0,5x - 0,75. Это прямая, проходящая через точки (0,5;-1) и (2,5;-2).
Прямые параллельны.
Ответ: система не имеет решений



Пример 2: x + 2y -5 =0, Решить графически систему: 2x + 4y +3=0


y

x

5

-1

x +2y -5=0

2x +4y +3 =0

Решение:В уравнениях системы выразить y через x: а) Построим график уравнения y = -0,5x

Слайд 16Решение:
В уравнениях системы выразить y через x:


а) Построим графики уравнений. Это

прямые, проходящая через точки (-2; -4) и (-4;1).
Прямые совпадают.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Пример 3: 5x + 2y +18 =0, Решить графически систему: 15x + 6y +54=0


y

x

-4

-4

5x + 2y + 18=0

15x +6y + 54=0

Решение:В уравнениях системы выразить y через x:а) Построим графики уравнений. Это прямые, проходящая через точки (-2; -4)

Слайд 18Как расположены графики?

Как расположены графики?

Слайд 19
Метод постановки – это универсальный алгебраический метод. Им можно решать почти

все системы из уз учебника. Активно применяется в решении и более сложных систем.
Этот метод может быть не всегда эффективен (т.е. не всегда быстро приводит к цели), но достаточно надёжен.


Метод подстановки

Метод постановки – это универсальный алгебраический метод. Им можно решать почти все системы из уз учебника. Активно

Слайд 20Выразить y через x из первого уравнения системы;
Подставить полученное на первом

шаге выражение вместо y во второе уравнение системы;
Решить полученное на втором шаге уравнение относительно x.
Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражении y через x, полученное на первом шаге;
Записать ответ в виде пары значений (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:

Выразить y через x из первого уравнения системы;Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе

Слайд 21Решение:
Выразим x через y из второго уравнения:

x =
Подставим найденное выражение вместо x в первое уравнение системы: 4 · - 5y =1
Решим полученное уравнение:
6y + 4 – 5y=1,
y +4=1,
y= - 3.

Пример 5: Решить систему методом подстановки:







Решение:Выразим x через y из второго уравнения: x = Подставим найденное выражение

Слайд 224) Подставим найденное значение y в формулу

x =

= = -3,5

5) Пара x = -3,5, y = -3 – единственное решение заданной системы.

Ответ: (-3,5; -3).


Пример 5(продолжение):


4) Подставим найденное значение y в формулу x = =

Слайд 23Систему уравнений легче решать методом сложения, когда коэффициенты при x и

y сразу являются противоположными числами.
Метод позволяет быстро исключить одну из неизвестных переменных и найти другую.

.

Метод алгебраического сложения

Систему уравнений легче решать методом сложения, когда коэффициенты при x и y сразу являются противоположными числами.Метод позволяет

Слайд 24Преобразовать коэффициенты так, чтобы коэффициенты при x или при y были

противоположными числами.
Сложить уравнения.
Решить уравнения с одной переменной.
Найти y, подставляя х в одно из первоначальных уравнений.
Записать ответ в виде пары значений (x;y).

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом сложения:

Преобразовать коэффициенты так, чтобы коэффициенты при x или при y были противоположными числами.Сложить уравнения.Решить уравнения с одной

Слайд 25
Решение:
Умножив первое уравнение на 5, а второе на 2, получим коэффициенты

при y противоположные числа.



Сложим получившиеся уравнения.
25x + 8x +10y -10y = -45 + 12,

Пример 8: Решить систему методом алгебраического сложения:







Решение:Умножив первое уравнение на 5, а второе на 2, получим коэффициенты при y противоположные числа.Сложим получившиеся уравнения.

Слайд 263) Решим полученное уравнение.
25x + 8x = -45 + 12,
33x =

-33,
x = -1
4) Найдём y, подставляя х в одно из первоначальных уравнений:
5 · (-1) + 2y = -9,
2y = -4,
y = -2
5) Пара x = -1, y = -2- решение заданного уравнения.
Ответ: (-1; -2)




Пример 8(продолжение):

3) Решим полученное уравнение.25x + 8x = -45 + 12,33x = -33,x = -14) Найдём y, подставляя

Слайд 27Матрица-

Определитель-



Правило Крамера

Матрица- Определитель- Правило Крамера

Слайд 281) Если главный определитель ∆≠ 0, то система имеет единственное решение

(прямые пересекаются):

2) Если ∆=0 и хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то система не имеет решений (прямые параллельны, но не совпадают).
3) В случае система сводится к одному линейному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений (прямые совпадают).

Правило Крамера

1) Если главный определитель ∆≠ 0, то система имеет единственное решение (прямые пересекаются): 2) Если ∆=0

Слайд 29Решение:
Найдём определители системы:


=2·(-5) - 3·7= -31

= =8·(-5) – 3·(- 3) = -31


= = 2·(-3) -8·7 = -62

, следовательно система имеет единственное решение: x= =1, y= =2.
Ответ: (1; 2).


Пример 9: Решить уравнение с помощью правила Крамера:









Решение:Найдём определители системы:

Слайд 30Решение:
Найдём определители системы:
∆ = =2·4 – 3·

4 = 0,

= =8· 6 – 3· 10=18≠0.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 10: Решить уравнение с помощью правила Крамера:







Решение:Найдём определители системы:∆ = =2·4 – 3· 4 = 0, =

Слайд 31Решение:
Найдём определители системы:
∆= =2·6 – 3·4 =

0,
= = 8· 6 – 3·16 =0,
= = 2· 16 – 8·4 = 0.
Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Пример 11: Решить уравнение с помощью правила Крамера:








Решение:Найдём определители системы:∆= =2·6 – 3·4 = 0, =

Слайд 32Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу.

Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

Системы линейных уравнений с параметрами.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с

Слайд 33



Система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в

параметрах.




Система двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Слайд 34Дана система уравнений

Известно, что пара чисел (2;-1) является её решением. Найти

значения a и b.
Решение:
Зная, что решением системы являются координаты точки (2; -1), подставляем x = 2, y= -1

№13.17(а)



Дана система уравненийИзвестно, что пара чисел (2;-1) является её решением. Найти значения a и b.Решение:Зная, что решением

Слайд 35Сложим получившиеся уравнения:
2a +2a -1b + 1b= 36 + 8
4a =

44
a=11
Найдём b, подставляя a в одно из первоначальных уравнений:
2 · 11-1b = 36
22- b = 36
b= 22 – 36
b = -14
Ответ: a=11, b = -14



№13.17(а) (продолжение)

Сложим получившиеся уравнения:2a +2a -1b + 1b= 36 + 84a = 44a=11Найдём b, подставляя a в одно

Слайд 36Если а =0, то имеем уравнение 0·х = b. Тогда, если,

кроме того, b ≠ 0, то уравнение не имеет решений, а если b = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел.
Если а ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение х = .

Схема исследования линейного уравнения с параметрами:


.

Если а =0, то имеем уравнение 0·х = b. Тогда, если, кроме того, b ≠ 0, то

Слайд 37Решение: Из второго уравнения найдём х=1–аy и подставим в первое

уравнение:
a(1 – аy) - 3аy = 2а + 3
-a(a + 3) y = a + 3
Исследуем это линейное уравнение.
Возможны случаи:
1) a=0. Тогда уравнение имеет вид:
0·(0+3) y = 0 + 3
0· y = 3
Нет корней. Следовательно, при a=0 система не имеет решений.

Пример 13: Для всех значений параметра а решить систему уравнений



Решение: Из второго уравнения найдём х=1–аy и подставим в первое уравнение: a(1 – аy) -

Слайд 382) a= -3. Тогда 3(-3 + 3) y = -3 +3

→ 0· y = 0
Следовательно, y – любое число. При этом
x = 1 – аy = 1 –(-3) y = 1+ 3y
3) a ≠ 0, a ≠ -3.
Тогда из уравнения -a(a + 3) y = a + 3 выразим y:
y = = - ,
а полученное значение y подставим во второе уравнение: x = 1 – аy = 1 – a(- ) = 2.
Ответ: если a=0, то система не имеет решений;
если a= -3, то x = 1+ 3y, y – любое число;
если a ≠ 0, a ≠ -3, то x = 2, y = -


Пример 13(продолжение):





2) a= -3. Тогда 3(-3 + 3) y = -3 +3 → 0· y = 0Следовательно, y

Слайд 39Решение: Найдём определители системы:
∆ =

=(а+5)(5а+6) - (2а+3)(3а+10)=а(2-а)
= (3а + 2)(5а + 6) - (2а + 3)(2а + 4) = = а(11а + 14)
= (а + 5)(2а + 4) - (3а + 2)(3а + 10) =
= -а(7а + 22)


Пример 14: Для всех значений параметра а решить систему уравнений:









Решение: Найдём определители системы:∆ = =(а+5)(5а+6) -

Слайд 40∆ = а(2 - а) ≠ 0 а ≠

0 и а ≠ 2. Тогда
x = = =
y = = - = - =
2) ∆ = а(2 - а) = 0, тогда а = 0 или а = 2.
При а = 0 определители
= а(11а + 14) = 0·(11·0 + 14) = 0,
= - а(7а + 22) = - 0·(7·0 + 22) = 0,
0. Тогда система имеет вид

5x + 3y = 2 x – произвольное число

Пример14(продолжение):











∆ = а(2 - а) ≠ 0 а ≠ 0 и а ≠ 2. Тогдаx

Слайд 41б) при а = 2 определитель
а(11а + 14) =

2·( 11·2 + 14) = 72 ≠ 0.
Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

Ответ: если а ≠ 0 и а ≠ 2, то x = , y = ;
если а = 0, то x – любое число, y = - x;
если а = 2, то система не имеет решений.

Пример14(продолжение):





б) при а = 2 определитель а(11а + 14) = 2·( 11·2 + 14) = 72 ≠

Слайд 42Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г.

Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А.Теляковского.- 10-е изд.- М.: Просвещение, 2001. – 223с.
Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. 10-е изд., стереотипное.- М.: Издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1973.- 872с.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. – 336с.
Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2009/ФИПИ.- М.: Интеллект-Центр, 2009.
Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: СИ. Адян, Н.С Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988.- 847 с, ил.
Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях.- 9-е изд.- М.: Мнемозина, 2010.
Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие.- 2-е изд., доп., перераб.- Чебоксары: изд-во Чуваш. ун-та, 2000. – 144с.

Литература:

Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под
Скачать презентацию

Похожие презентации

Презентация по алгебре Решение показательных уравнений Презентация по алгебре Решение показательных уравнений 204
Презентация внеурочного занятия по математике для учащихся 7-9 классов Презентация внеурочного занятия по математике для учащихся 7-9 классов 250
Презентация к уроку алгебры в 8 классе Степень с целым отрицательным показателем. Презентация к уроку алгебры в 8 классе Степень с целым отрицательным показателем. 447
Презентация по теме: Решение задач на концентрацию, сплавы, движение (9-11 классы) Презентация по теме: Решение задач на концентрацию, сплавы, движение (9-11 классы) 265
Презентация по математике для 8-9 класса Решение неполных квадратных уравнений Презентация по математике для 8-9 класса Решение неполных квадратных уравнений 273
Презентация по математике Линейная функция, её свойства и график 7 класс Презентация по математике Линейная функция, её свойства и график 7 класс 217

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть