Презентация, доклад по алгебре и началам анализа на тему Логарифмические уравнения (11класс)

единственное решение

при любом b.

вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

ХVI в. под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Так зачем изучают логарифмы сегодня в школе?

Цель, задачи

Обучающая цель:
-научить видеть знакомое в незнакомом;
-расширить представление о логарифмической функции;
-рассмотреть применение ее свойств в нестандартных ситуациях;
Воспитательная цель:
-формировать целостную систему знаний и научного мировоззрения;
 Развивающая цель:
- развитие творческого, критического интегративного мышления, развитие самостоятельности;
-развивать логическое мышление, познавательный интерес.
 

= loge a, e ≈ 2,718…

величина пропорциональная логарифму светового потока. Однако коэффициент пропорциональности отрицателен (при основании логарифма больше единицы), поэтому самым ярким объектам на небе соответствует большая отрицательная величина (–26,8 для Солнца), а для самых тусклых — положительная (28 для едва различимых в телескоп звезд)

Астрономы измеряют «блеск» небесных светил в звездных величинах

в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только ЭйнштейнВоспоминание академика В. Л. Гинзбурга: «… Ландау имел «шкалу заслуг» в области физики. Шкала была логарифмическая (классу 2 отвечали достижения в 10 раз меньше, чем для класса 1). Из физиков нашего века класс 0,5 имел только Эйнштейн, к классу 1 относились Бор, Дирак, Гейзенберг и ряд других…»

Остается неясным, логарифм по какому основанию — 10 или 2,512… — использовал Лев Ландау для определения уровня гениальности физиков-теоретиков. Несомненно лишь одно: для этих сугубо эмоциональных, субъективных оценок он использовал логарифмическую шкалу.

ПОЗВОЛЯЮЩЕЕ ВЫПОЛНЯТЬ НЕСКОЛЬКО МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ, В ТОМ ЧИСЛЕ, УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ, ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ (ЧАЩЕ ВСЕГО В КВАДРАТ И КУБ) И ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ И КУБИЧЕСКИХ КОРНЕЙ И ОПЕРАЦИИ.

XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах. Дело в том, что следуя моде производители дорогих и престижных марок часов перешли от электронных хронометров с ЖК- экранами к стрелочным и соответственно места для встраиваемого калькулятора оказалось недостаточно. Однако спрос на хронометры со встроенным вычислительным устройством среди следящих за модой людей заставил производителей часов выпустить модели с встроенной логарифмической линейкой выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата.

около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали)

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

Раковины многих моллюсков, улиток, а также рога горных козлов закручены по логарифмической спирали

линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.

картина Вермера «Кружевница»

На основании этого ее называют равноугольной.
Это свойство находит свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.
В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, проводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.
Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах.

науки и техники.
Многообразное применение функции вдохновило английского поэта Э. Брилла на написание оды о логарифмах.
Были поэты, которые не посвящали логарифмам целых од, но упоминали их в своих стихах. Известный поэт Борис Слуцкий в своём нашумевшем стихотворении «Физики и лирики» писал:
«Потому-то, словно пена,
Опадают наши рифмы
И величие степенно
Отступает в логарифмы».
Выполняя данную работу, я сделала для себя открытие, что логарифмы и логарифмическая функция помогли человеку следовать путём технического прогресса и объяснить многие тайны природы, человеческих ощущений. Быть может человечество стоит на пороге новых революционных открытий, и поможет нам в этом «царица наук»- математика!

множества их корней совпадают.
Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни
(например и ) или если оба уравнения не имеют корней (например , и )

является в то же время корнем уравнения то второе уравнения называют следствием первого.

Например, уравнение является следствием уравнения
, в то же время уравнение

не является следствием
уравнения .

них является следствием другого.

Определение 4. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения и .

b (а > 0, а≠ 1, b>0 ) имеет решение х = аb.

2) функционально-графический метод;

равенству, не содержащему их: если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

решения

Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ

1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

равносильно
следующей системе

log2(х + 2) = 3.

3. log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).

4. logx–19 = 2.

5. log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).

уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

≠ 1
Используя формулу перехода к новому основанию, получим

A, В, С – действительные числа.
  Пусть t = loga f(x), t∈R. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

6 = 0.
Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ∞).
Введём новую переменную t = lg x, t∈R.
Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0.
Его корни t1 = –2, t2 = 3.

= 3,
х = 10 –2 или х = 10 3.
Оба значения x удовлетворяют
области определения данного уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.

получим уравнение

и следовательно

уравнение

Данный корень удовлетворяет области определения уравнения
1 < x < 2

1 

x = 2

Область определения уравнения
x+1>0, x+1≠1
x > -1, x≠0

Данный корень удовлетворяет
области определения уравнения

части уравнения

Область определения уравнения x > 0

(1 + log3 x) log3 x = 2.

 

t = log3 x
(1 + t) t = 2
t 2 + t – 2 = 0
 t1 = –2,  t2 = 1
log3 x = –2,  log3 x = 1
x = 1/9, х = 3


 

Оба корня входят в область определения уравнения

4 = 0

 t1,2 = 2

log3 (–x) = 2

–х = 9

х = –9

Данный корень входит в область определения уравнения

lgx)2 = (2 + lgx)2

lg210x = (lg10x)2 = (lg10 + lgx)2 = (1 + lgx)2

t = lgx 
(2 + t)2 + (1 + t)2 + t = 14

2t2 + 7t - 9 = 0
 t1 = -9/2 и t2 = 1

lgx = -9/2 lgx =1
По определения логарифма выражаем x:

Область определения уравнения x>0

Оба корня удовлетворяют области определения уравнения

начала анализа 3600 задач для школьников и поступающих в вузы Звавич Л.И., Шляпочкин Л.Я., Чинкина М.В.
Соболь Б. В., Виноградова И. Ю., Рашидова Е. В. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по математике. Изд. 3-е. – Р н/Д: «Феникс», 2003. – 352 с.
http://edu.nstu.ru/courses/dovuz/urner/demo/Log/Teor/Fru_m.htm
http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html

ВЫПОЛНИЛА Карамурзова Д.
УЧЕНИЦА 11РН КЛАССА
МКОУ СОШ №32
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
Оршокдугова Р.М.

вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?

Цель

Исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов
Выявление интересных фактов логарифмов

по методам решения.
Составление сборника задач и презентации «Логарифмы вокруг нас».
Письменное оформление исследовательской работы.
Выполнение презентации к выступлению на конференции.

греческого λογο(число)и ρίνμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594 г.) логарифмов Джоном Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической.
Ежели под геометрическою прогрессиею, начинающеюся с единицы, подписана будет арифметическая прогрессия, начинающаяся с нуля, то числа, внизу подписанные, называются для верхних – логарифмы.
Положим, что даны прогрессии:
геом. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,
арифм. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Тогда логарифм 1 будет 0;
логарифм 4 будет 2;
а логарифм 32 будет 5 и проч.»

Джон Непер
(Шотландия, 17 век)

Задачи С3 с решениями» (32 уравнения)
Презентация
«Логарифмы вокруг нас»

ловушками (свойства функций)

логарифмы
Живопись и логарифмы

только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.

цель проекта достигнута, проблема решена. А я получила наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.
Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.
Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширила свои практические навыки в области информатики, получила новые знания и опыт в области психологии, наладила контакты с одноклассниками, научилась сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки.

с одной переменной (типовые задания С3)
2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.
3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.
4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.- 
5 Математика . Тематические тесты. Часть 2. Подготовка  к  ЕГЭ -2010.10-11 классы /
Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2009. — 176 с. — (Готовимся  к   ЕГЭ )
6.Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ : 2010:  Математика /авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.;
7. Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка  к  ЕГЭ   по   математике  в 2010 году. Методические рекомендации.
8.Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ — М: Интеллект-Центр, 2010. — 96 с. (Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко)
9. Сайт Дмитрия Гущина «РЕШУ ЕГЭ»