Презентация, доклад по Алгебре и началам анализа на тему: Решение тригонометрических уравнений

каких преобразований можно свести
данные тригонометрические уравнения к
простейшим тригонометрическим
уравнениям ?

0
3cos2x – 5sinx = 9
5sin2x = 7cosx

новую переменную y = cos x и реши полученное квадратное уравнение
Не забудь выполнить обратную замену
И, наконец, реши простейшее тригонометрическое уравнение
Будешь записывать ответ – ещё раз посмотри результат, проверь, всё ли учтено.

2y2 + y – 1 = 0
Корни данного уравнения: y1 = 0,5 и y2 = -1
Cледовательно, cos x = 0,5 или cos x = - 1
Х1= ±arccos 0,5 +2пк, где к ∈ Z,
X2 = п + 2пк, где к ∈ Z, т. е.
X1 = ±п/3 + 2пк, где к ∈ Z
X2 = п + 2пк, где к ∈ Z
ОТВЕТ :±п/3 +2пк, к ∈ Z
п + 2пк, к ∈ Z

= 0

Примени основное тригонометрическое тождество и получишь уравнение, состоящее из одноимённых функций одного и того же аргумента
Введи новую переменную y = sin x и реши квадратное уравнение
Не забудь обратную замену
Реши простейшие тригонометрические уравнения
И, наконец, записывая ответ, ещё раз просмотри все результаты

2sin2x + 5sin x - 4 = 0 | * ( -1)
2sin2x – 5sin x + 2 = 0
Пусть y = sin x ( |y|≤1), получаем уравнение 2y2 – 5у + 2 = 0
Корни уравнения: у1 = 2 и у2 = 0,5
Обратная замена
При у = 2 уравнение sin x = 2 - нет корней
При у = 0,5 уравнение sin x = 0,5
X = (-1)n п/6 +пn, n ∈ Z

тригонометрическим уравнениям:

Уравнения, в которых все функции выражаются через одну тригонометрическую функцию от одного и того же аргумента :
sin2x – cos x -1 = 0 ( 1 )
tg3x + ctg3x – 2 = 0 ( 2 )

Реши самостоятельно эти уравнения.
Вот тебе подсказка :
sin2x = 1 – cos2x
ctg3x = 1/tg3x

sinx-?

+ cosx = 0, пусть у = cos x,
у2+ у = 0, у( у+ 1) = 0
у= 0 или у = -1
cos x= 0 cos x = -1
x=п/2+пn x = п + 2пn, n ∈ Z
Ответ : п/2+пn;
п + 2пn, n ∈ Z

= tg3x, у ≠ 0
у + 1/у – 2 = 0
у2 -2у + 1 = 0
(у – 1 )2 = 0, у – 1 = 0, у = 1
tg3x = 1, 3x = п/4+пn, n ∈ Z
x = п/12+ пn/3, n ∈ Z
Ответ : п/12+пn/3, n ∈ Z

(1 –ст)
3sin2x – 4sinx*cosx + 7cos2x = 0 (2- ст)
4cos2x + 3sinx*cosx -3 = 0 (2-ст)

cos x = 0 a sin2x + b sin x * cos x +c cos2x =0

если а ≠ 0, то cos x не может быть равным 0 ( объясни почему?).
разделим обе части уравнения на соsx и на cos2x соответственно
в результате получим уравнения:
a tg x + b = 0 ( 1 )
a tg2x + b tg x + c = 0 ( 2 )
1случай – линейное уравнение относ. tgx
2cлучай – квадратное уравн. относ. tgx

0

сos≠0,т.к. в противном случае не будет выполняться тождество sin2x+cos2x=1
Значит, разделим обе части на cos2x
Имеем, 3 tg 2 x + tg x – 2 = 0
Пусть у = tg x, отсюда
tg x = -1 или tg x = 2/3
x1 = -п/4+пк, x2 = arсtg2/3+пк,
где к ∈ Z
Ответ: -п/4+пк; arсtg2/3+пк, к ∈ Z

равен нулю.
2. При решении уравнения можно не вводить новую переменную, а решать квадратное уравнение относительно тангенса.
3 . При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на множители, нужно использовать все известные способы разложения на множители: вынесение множителя, группировка, применение ФСУ .

( 1 )
4cos2x + 3cosx = 0 ( 2 )
sin7x – sin5x = 0 ( 3 )

X ( 4 SIN X – 3 ) = 0
COS X = 0 или 4SIN X – 3 = 0
X = П/2 + Пn, n∈ Z SIN X = 3/4
x =(-1)narcsin3/4+пn
Ответ: п/2 + пn;
(-1)narcsin3/4 + пn, где n e Z

= 0
сos x = 0 или 4cos x + 3 = 0
x =п/2 +пn, cos x = - ¾
n ∈ Z x = ±(п-аrccos3/4)+2пn
Ответ: п/2 +пn;
±(п-arccos3/4)+2пn, n ∈ Z

x = 0 или cos 6x = 0
x = пn, 6x = п/2+пn
n ∈ Z x = п/12+пn/6
Ответ : пn;
п/12+пn/6, где n ∈ Z

на множители.

7 = 0
2sin2x + sin x – 1 = 0
3sin2x- 4sinx*cosx + cos2x = 0
4sin2x – 11cos x = 5
6sin2x – sin x – 1 = 0
4sin2x + 6cos x + 6 = 0

Sin x – sin2x = 0
2cos2x + cos x = 3
tg2x – tg x = 0
2sin2x + 2sinx*cosx = 1
2cos2x + cos x = 0
4sin x – 6sin2x = 0

2cos2x - 3sinx*cosx + 4sin2x = 0
9sinx*cosx - 7cos2x = 4sin2x
2sin2x – sinx*cosx = cos2x
2sin2x – cos x = 0
5cos2x +4 = 3sinx*cosx
7sin2x- 2sinx*cosx = cos2x

страница 96
№ 24 ( весь )

Монино, 2016 год

учитель математики
МОУ СОШ № 3 Подосёнов А.Л.