Презентация, доклад по алгебре и началам анализа Решение практических задач по теории вероятностей

(базовый уровень)
№4 (профильный уровень)

вторая - 40%. Среди продукции первой фабрики 3% лампочек дефектные, среди продукции второй фабрики - 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине лампочка окажется дефектной. Решение: По условию задачи первая фабрика выпускает 60% лампочек из 100%. Другими словами она выпускает 60/100 = 0,6 доли от общего производства двух фабрик. Вторая фабрика аналогично выпускает 40% = 40/100 = 0,4 доли от общего числа лампочек. Среди этих 0,6 по условию 3% брака, что значит 0,03 от 0,6, это равно: 0,03∙0,6=0,018. То есть от всего объема выпущенных лампочек 0,018  окажутся дефектными с первой фабрики. Аналогично найдем долю дефектных лампочек со второй фабрики: 0,02∙ 0,4 = 0,008 Всего бракованных лампочек с обеих фабрик будет: 0,018 + 0,008 = 0,026. Это и будет равно вероятности того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется дефектной.

вторая - 40%. Среди продукции первой фабрики 3% лампочек дефектные, среди продукции второй фабрики - 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине лампочка окажется дефектной. Более коротко:
Вероятность того, что лампочки выпущены на первой фабрике и они бракованные: 0,03∙0,6=0,018 .
Вероятность того, что лампочки выпущены на второй фабрике и они бракованные : 0,02∙ 0,4 = 0,008.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленная в магазине лампочка окажется дефектной. : 0,018 + 0,008 = 0,026
Ответ: 0,026.

предохранителей, второй - 60%. Первый завод выпускает 4% бракованных предохранителей, а второй - 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине предохранитель окажется бракованным.
Решение:
По условию задачи первый завод выпускает 40% предохранителей из 100%. Другими словами он выпускает 40/100 = 4/10=0,4 доли от общего производства двух заводов. Второй завод аналогично выпускает 60% = 60/100 = 6/10=0,6 доли от общего числа деталей.
Среди этих 4/10 по условию 4% брака, что значит 4/100 от 4/10, это равно: 4/100 * 4/10 = 16/1000=0,016. То есть от всего объема выпущенных деталей 0.016 бракованных выпускает первый завод.
Аналогично найдем долю брака со второго завода: 3/100 * 6/10 = 18/1000=0,018.
Всего бракованных деталей с обоих заводов будет:
0,016 + 0,018 = 0,034. Это и будет равно вероятности того, что случайно выбранный в магазине предохранитель окажется бракованным.
Ответ: 0,034.

Василий и Павел. Школьников случайным образом делят на три футбольные команды по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Василий и Павел окажутся в одной команде. 
Решение: Нас устроит, если Василий и Павел окажутся в любой из трех команд.
Допустим, событие А - оба попали в 1-ю футбольную команду
                событие В - оба попали во 2-ю футбольную команду
                событие С - оба попали в 3-ю футбольную команду.
Эти события несовместны и любое из них нас устроит. Найдем Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С).
В свою очередь событие А состоит из двух зависимых событий:
А1 - что Василий окажется в 1-ой футбольной команде
А2 - что Павел окажется в 1-ой футбольной команде, ⇔
Р(А) = Р(А1) * РА1(А2).
Вероятность, что Василий попадет в 1-ю футбольную команду Р(А1): m=1, так как один благоприятный исход, а n=3, так как всего возможно три исхода.
Поэтому  Р(А1) = 1/3.

1-ю футбольную команду при условии, что Василий в нее уже попал. 
Число благоприятных условий равно 6, так как одно место в команде уже занято Василием (то есть нас устраивает, если Павел попадет в любое из шести свободных мест в команде и m=6), а общее число всех исходов = 20, так как Василий уже не участвует в выборке (то есть всего претендентов осталось 20 человек и n=20).
Поэтому РА1(А2) = 6/20 = 3/10
Таким образом Р(А) = 1/3 ∙ 3/10 = 1/10.
Аналогично рассуждая, найдем Р(В) = 1/10 и Р(С) = 1/10.
Поэтому Р(А+В+С) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3. 

Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах.
Решение.
Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся одноклассников, а остальные 14 будут в других группах. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 14 человек, равна 14 : 20 = 0,7.
 
Ответ: 0,7.

того,
А) что наступит исход РОР (в первый и третий разы выпадает решка, во второй — орёл).
Б) что вы­па­дет хотя бы две решки. (РР)
Решение.
Всего возможных исходов — восемь. Двоичный код.
Обозначим 1-решка, 0-орел.

А) Благоприятным является один: решка-орел-решка.
Следовательно, искомая вероятность равна
1 : 8 = 0,125. Ответ: 0,125

Б) Бла­го­при­ят­ны­ми являются четыре: решка-решка-решка, решка-решка-орел, решка-орел-решка, орел-решка-решка. Следовательно, ис­ко­мая вероятность равна 4 : 8 = 0,5.
Ответ: 0,5.

отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 октября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 17 октября в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение. Рассмотрим всевозможные случаи. Пусть 0-отличная погода, 1-хорошая погода.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 
=0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)=0,8∙0,8∙0,2+0,8∙0,2∙0,8+ 

+0,2∙0,2∙0,2+0,2∙0,8∙0,8=0,128+0,128+0,008+0,128=0,392

Ответ:0,392

того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

А – кофе закончится в первом автомате; В – кофе закончится во втором автомате.

По условию задачи,

отметим, что эти события не являются независимыми, в противном случае

Вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна

Ответ:0,52

0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе.

Решение. Поскольку вероятности поражения цели орудиями (события А и В соответственно) не зависят от результатов стрельбы каждого из напарников, то эти события независимы. Искомая вероятность рассчитывается по формуле
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) -Р(А)Р(В) = 0,8 + 0,9 - 0,72 = 0,98.
 
В случае полной группы событий Alt A2, ..., А„ сумма их вероятностей равна единице:
P(At) + P(A2) + + P(A) = 1.
Другое условие задачи : Оба орудия поразят цель
Р(А * В) = Р(А) * Р(В)=0,8 * 0,9 =0,72

игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 16 шахматистов, среди которых 4 представителя России, в том числе Василий Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Зайцев будет играть с каким-либо шахматистом из России.
Решение:
В первом туре участвуют 16 шахматистов, они разбиты на пары. Всего пар 8 (16:2=8).
Допустим, Василий Зайцев окажется в первой паре шахматистов. Вероятность этого найдем по определению вероятности: 2/16  = 1/8.
Вероятность того, что вторым окажется россиянин посчитаем тоже по определению вероятности: 3/15 = 1/5 (так как благоприятных исходов - 3, а всего возможно исходов 15, так как Василий уже выбран).
1) Вероятность события А - это отношение числа исходов, благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных). Р(А)= m/n, где m -  число благоприятных исходов, а n - число всех исходов.
Значит, вероятность того, что Василий Зайцев окажется с россиянином в паре будет равна
1/8 * 1/5 = 1/40 =0,025(по формуле поиска вероятности произведения событий).
2) Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:  Р(А*В) = Р(А) * РА(В).)

будет равна
1/8 * 1/5 = 1/40 =0,025(по формуле поиска вероятности произведения событий).

Но заметим, что нас устроило бы, что Василий будет в любой из 8 пар вместе со вторым россиянином. Поэтому искомая вероятность будет равна: 1/40 + 1/40 + 1/40+ 1/40+ 1/40+ 1/40 + 1/40+ 1/40  =  1/40 * 8 = 1/5 = 0,2 (по формуле поиска вероятности суммы несовместных событий)
4) Теорема: Вероятность суммы несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В).
Ответ: 0,2.

фломастера. Найдите вероятность того, что эти фломастеры оказались одного цвета, если известно, что в ящике 12 синих и 13 красных фломастеров.
Решение.
Изначально в ящике 12+13=25 фломастеров. При выборе первого фломастера вероятность того, что он будет синего цвета, равна 12/25. Если первый выбранный фломастер действительно оказался синего цвета, то в ящике остается 24 фломастера и из них 11 синих. Поэтому вероятность выбора второго синего фломастера, равна 11/24. Так как и первый и второй фломастеры должны быть синими, получаем произведение этих вероятностей:

Рассмотрим вторую ситуацию, когда оба фломастера могут быть красными.
Подобными рассуждениями получаем вероятность


Так как нас интересует наступление или первого или второго исхода (при несовместности этих событий), получаем значение искомой вероятности:

Ответ: 0,48.

На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно . Схема дорожек показана на рисунке . Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G
Решение:

Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:
 Р(А*В) = Р(А) * РА(В).)
 Ответ: 0,125.

дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.
Решение.

Рассмотрим маршрут A-B-пруд. Вероятность выбора из A в B, равна 1/4 (1 дорожка из 4-х возможных), а вероятность из В к пруду 2/4=1/2 (2 дорожки из 4-х возможных). Следовательно, вероятность попадания из S к пруду через A и B, равна

К пруду также можно попасть через A-C-пруд.
Вероятность этого маршрута, равна:

Наконец, к фонтану, можно пройти по маршруту A-C-D-фонтан. Вероятность этого пути:


Так как все три события несовместны, то искомая вероятность посещения или пруда или фонтана, равна сумме этих вероятностей:

Ответ: 0,3125.
 

в автобусе от 15 до 19 пассажиров
Событие A + B - в автобусе меньше 20 пассажиров

События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
 

P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ:0,38

99 маль­чи­ков и 2 девочки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что между де­воч­ка­ми будет си­деть один мальчик.
Решение.
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда для каждого из оставшихся ребят (в том числе и для второй девочки ) вероятность оказаться на любом из оставшихся стульев равна     А мест, удовлетворяющих условию задачи, только

два. Таким образом вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна 


Ответ 0,02

Н. Студенецкая. «Решение задач по статистике, комбинаторике теории вероятностей», Волгоград, 2005г.
3. «ЕГЭ, математика 2019г.», И.В. Ященко (базовый, профильный уровень).
4. Интернет – ресурсы.
5. Д.Д. Гущин, Решу ЕГЭ, 2019г.