Презентация, доклад по алгебре и математическому анализу на тему Производная функции (10 класс)

∆x→ 0

Пусть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки Х0 (окрестность точки Х0 - это интервал (а; b), Х0 (а; b)).
Разность х- Х0 называется приращением аргумента:
∆x = х- Х0. Отсюда x = Х0 + ∆x.
Разность f(x)-f(Х0 ) называется приращением функции:
∆f = f(x) - f(x0) или
∆ f = f(x0+∆x) – f(x0).
Отсюда
f (x0 +∆x) = f (x0 ) + ∆ f.

Рис.1

Определение производной

Геометрический смысл приращений ∆х и ∆ f показан на рис.1.
Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x, стремящегося к "нулю“.
Обозначается f ' (x0).
Итак,

x0 , то говорят, что она дифференцируема в точке x0.

Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.

то их сумма также дифференцируема в точке x0, причем производная суммы равна сумме производных, т.е.

( + )'=' + '

Правило №2
Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произведение также дифференцируемо в точке x0, причем

( ∙ )' = ' + '

Правила дифференцирования

и (х0 ) ≠ 0, то их частное также дифференцируемо в точке x0, причем

(/)' = (' - ') / ²

Правило №4
Если функция u дифференцируема в точке x0 и с = const, то их произведение также дифференцируемо в точке x0 , причем
(сu)' = сu'.

Правило №5
Если f (g(х)) - сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е.

[f(g(x))]'= f '(g) ◦ g'(x)

Правила дифференцирования

наименьшее значения функции на отрезке.
При этом используются следующие теоремы:

Теорема №1
Если f ' (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Если f ' (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.

Теорема №2
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума):
если x0- точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.

не существует, называется критической.

Теорема №3
Достаточное условие экстремума:
если функция f (x) непрерывна в точке x0, а f '(х) > 0 на интервале (а; x0) и
f '(х) < 0 на интервале (x0; b), то точка x0 является точкой максимума.
Обозначается Xmax

что функция у = f(x) непрерывна на [а; b];
б) найти критические точки, принадлежащие [а; b];
в) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;
г) сравнением установить наибольшее и наименьшее значение,
обозначается max f(X) = f(X1), min f(X) = f(X2)
[а; b ] [а; b]

Примечания
1. Если рассматривают функцию не на отрезке, а на интервале (а; b), то вычисляют вместо значений функции на концах пределы
lim f(x) и lim f(x). x→а х→b
2. Не следует путать наименьшее и наибольшее значение функции с минимумом и максимумом функции.
С помощью пределов исследуют "поведение" функции на бесконечности, а также вблизи точек разрыва, устанавливают наличие асимптот.

Наименьший положительный период;
5. Координаты точек пересечения графика с осью Ох;
6. Координаты точек пересечения графика с осью Оу;
7. Промежутки возрастания графика функции;
8. Промежутки убывания графика функции;
9. Точки минимума и максимума функции;
10. Значение функции в точках минимума и максимума;
11. Дополнительные точки (если они нужны).

Схема исследования функций

для построения её графика

D(f) = R;

2. E(f) = R;

f(x)

0

3. f(-x) =(-x )3 - 12(-x) = -x 3 + 12x =
= - (x 3 - 12 x ) = - f(x) - функция нечётная.

4. Не периодическая;

5. С осью Ох: у = 0 
x 3 - 12 x = 0

6. Находим производную: f ' (x) = 3 x 2 – 12. Далее нужно решить неравенство: 3 x 2 - 12 > 0 т .е.

- 2

2

- функция возрастает

< 0
т .е.

8. Решаем уравнение: f ' (x) = 0

т. е. 3 x 2 - 12 = 0

Откуда х1 = - 2, х2 = 2

- 2

2

_

max

min

9. fmax(- 2) =16 ; fmin(2) = -16

16

-16

10. Соединяем полученные точки.

+

+

- функция убывает