Презентация, доклад по алгебре Экстремум функции (10 класс)

Тюмени

точках происходит изменение характера монотонности функции (слева от точки (-1; 0) функция возрастает, а справа от неё до точки (0; -1) – убывает. Слева от точки (0; -1) функция убывает, а справа – возрастает. Касательные к графику функции в этих точках параллельны оси Ox, то есть можно записать, что производная функции в этих точках равна нулю.

также происходит смена характера монотонности, но в точке x = -1 касательной к графику не существует, а в точке x = 0 касательная перпендикулярна оси Ox, то есть совпадает с осью Oy.
Если рассмотреть некоторую окрестность точки x = -1, то легко заметить, что f (-1) – это наибольшее значение функции в этой окрестности.
Если же мы рассмотрим некоторую окрестность точки x = 0, то увидим, что f(0) – это наименьшее значение в этой окрестности.

Рассмотрим ещё один график функции.

если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≥ f(x0).

Функции, графики которых мы построили, имеют точку минимума
x = 0. Потому что можно выбрать окрестность, например, (-1/2; ½) или (-0,2; 0,2), для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f (0).
Значение функции в точке минимума обозначают ymin. Не будем путать это значение с наименьшим значением функции. Очевидно, что функции, графики которых изображены на рисунках, не имеют наименьших значений. А ymin существуют.

если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≤ f(x0).

Функции, графики которых мы построили, имеют точку максимума
x = -1. Потому что можно выбрать окрестность, например, (-3/2; -1/2), для всех точек которой выполняется неравенство f (x) ≤ f (-1). Это верно для обеих функций.
Значение функции в точке максимума обычно обозначают ymax. Не будем путать это значение с наибольшим значением функции. Очевидно, что функции, графики которых изображены на рисунках, не имеют наибольших значений. А ymax существует.

(от латинского слова экстремум, что означает крайний).

В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад, Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.
Большую работу в этом направлении проводили Ферма и Эйлер. Правила определения экстремумов функции одной переменной y = f (x) были даны Маклореном.

x = x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными, а внутренние точки области определения, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими.

(слева от точки максимума функция возрастает, справа – убывает). Соответственно изменяются знаки производной: слева от точки максимума производная положительна, справа – отрицательна.
Если же и слева и справа от стационарной или критической точки производная имеет один и тот же знак, то в этой точке экстремума нет.
Именно так и получается на последнем рисунке. И слева и справа от стационарной и критической точек производная положительна.

X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x =x0. Тогда: если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется неравенство f'(x) < 0, а при x > x0 – выполняется неравенство f'(x) > 0, то x =x0 – это точка минимума функции y = f (x); если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется неравенство f'(x) > 0, а при x > x0 – выполняется неравенство f'(x) < 0, то x =x0 – это точка максимума функции y = f (x); если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

экстремумы