Презентация, доклад к уроку Различные способы решения квадратных уравнений

у парт красиво,
Поздоровались учтиво.
Тихо сели, спинки прямо.
Вижу, класс наш хоть куда.
Мы начнём урок, друзья.

больше 0?
3. Равенство с переменной?
4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
5. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1?
6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?
7. Что значит решить уравнение?

тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»
У. Сойер

несложно,
Поставь в уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тотчас.
О.Севостьянова

Первый способ:

Решение квадратных уравнений по формуле.

3. 2х2-3х+2=0,
4. 4х2-12х+9=0.

х1= ½, х2=2.
х1= -½, х2= -⅓.
решений нет.
х1=1,5, х2=1,5.

1. 2х2-5х+2=0
2. 6х2+5х+1=0
3. 2х2-3х+2=0
4. 4х2-12х+9=0

по теореме, обратной теореме Виета:
х1+х2=-p,
х1∙х2=q.

Например,
уравнение х2-3х+2=0
имеет корни х1=2, х2=1
так как х1+х2=3, х1∙х2=2.

Второй способ:

х2+10х+9=0,
х2+7х+12=0,
х2-10х-24=0,
х2-16х+60=0.

х1=-9,х2=-1.
х1=-4,х2=-3.
х1=12,х2=-2.
х1=10,х2=6

х2+10х+9=0
х2+7х+12=0
х2-10х-24=0
х2-16х+60=0

когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат.

Например: Решим уравнение 2х2-11х+15=0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: у2-11у+30=0.
По теореме, обратной теореме Виета у1= 5,у2= 6. тогда х1=у1/2, х2=у2/2; т.е. х1=2,5 , х2=3.

Третий способ:

.

а≠0.
1.Если а+в+с=0(т.е.сумма коэффициентов
уравнения равна нулю), то х1=1,х2=с/а.
Например: 345х2-137х-208=0 (345-137-208=0), значит,
х1= 1,х2= - 208/345.
2.Если а-в+с=0 (или в=а+с), то х1=-1,х2= - с/а.
Например, 313х2+326х+13=0 (326=313+13), значит
х1=-1,х2=-13/313.

Четвёртый способ:

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

4: Решите квадратные уравнения методом «коэффициентов»:

.
х1=1,х2=- .
х1=1,х2=- .
х1=-1,х2=- .

х2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3.
Для этого чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9 и отнять 9

( х2 + 2• х • 3 + 9 ) – 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 = 4 или х + 3 = -4

х1 = 1

х2 = -7.

Задание 5: Решите квадратные уравнения методом «выделения полного квадрата»:

1. х2-10х+24=0
2. х2-8х+15=0
3. х2+6х+8=0
4. х2-16х+ 60=0

10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 =
=х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

получим уравнение:
(х + 12)(х - 2) = 0
х = - 12 х = 2

Шестой способ:

4х+3=0;
4. х2+6х+8=0.

Задание 6: решите квадратное уравнение разложением левой части на множители:

х2- 12х+20=0;
3. х2- 4х+3=0;
4. х2+6х+8=0.

уравнении
х2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
х2 = - px - q.
Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

х2 - 3х - 4 = 0

виде
х2 = 3х + 4.
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4.
Прямую
у = 3х + 4 можно построить по двум точкам
М (0; 4) и N (3; 13).





Ответ: х1 = - 1; х2 = 4

и линейки.
нахождения корней квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки .
Тогда по теореме о секущих имеем
OB • OD = OA • OC,
откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

номограммы.
z2 + pz + q = 0.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а
Из подобия треугольников САН и CDF
получим пропорцию

Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом :
«Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Для искомой стороны х первоначального
квадрата получим

делать два шага.
О, монах, ты идешь трудной дорогой.
Учиться, обучая.
Ах, как я устал от этой суеты.
Без труда не вытащишь рыбку из пруда.

способов и решить их.