Презентация, доклад к уроку математики на тему Способы решения квадратных уравнений

материала

уравнения и назвать способ его решения

I способ:

разложение левой части уравнения на множители.

– 7 = 0

I I способ:

метод выделения полного квадрата

I I I способ:

решение квадратных уравнений по формулам

I V способ:

с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

а не равен 0. Умножим обе части уравнения на коэффициент а, получаем уравнение а2 х2 + авх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению
у2 +ву +ас = 0, равносильному данному. Его корни найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1 /а, х2 = у2 /а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому способ и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и когда дискриминант есть точный квадрат.

V способ:

«переброска» коэффициентов

свободный член с=15 («перебросим» коэффициент). Получим уравнение:
у2 – 11у + 30 = 0, где х = у/2
2. По теореме Виета получаем: у1=5, у2=6.
3. Х1=5/2=2,5 х2=6/2=3.
Ответ. х1 =2,5; х2 = 3.
Самостоятельно решить уравнение:
I вариант: 4х2 + 12х + 5 = 0
IIвариант: 6х2 + 5х – 6 = 0

V способ:

«переброска» коэффициентов

Ответ.

I вариант: х = -0,5; х = -2,5 I I вариант: х = 2/3; х = -1,5

= 0 равна нулю (т.е. а+в+с=0), то
х1 =1,
х2 =с/а.

VI способ:

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

о коэффициентах квадратного уравнения:

11+25+(-36)=0, значит х1 =1, х2 =-36/11.
Ответ. х1 =1, х2 =-36/11.

Устно решить уравнения:
а) 5х2 -7х+2=0
б) 3х2 +5х-8=0

квадратных уравнений с помощью четырехзначных математических таблиц В.М. Брадиса
( таблица XXII, способ описан на стр.83).
Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

V I I способ:

z1 = 8,0 и z2 = 1,0
( см рис. ).
2. Решим с помощью номограммы уравнение
2z2 -9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение
z2 -4,5z+1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 =0,5.

z1 = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - р, т. е.
z2 = - р - 1 = - 5 - 1 = - 6,0

числа, берем z1 = — t1, z2 = - t2 и находим по номограмме два положительных корня t1 и t2
уравнения t2 - 4t + 3 = 0,
это t1 = 1 и t2 = 3,
а затем Z1 = - t1 = - 1 и
z2 = - t2 = - 3.
Если коэффициенты р и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку
z = kt и решают с помощью номограммы уравнение
t2 +(p/k)k+ q/k2 =0,
где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства
-12,6 < p/k < 12,6,
- 12,6 < q/k2 < 12,6.

p

q

0
z2 –z – 6 = 0
z2 + 5z + 4 = 0

II вариант
z2 - 7z + 6 = 0
z2 + 4z - 5 = 0
z2 + 5z + 6 = 0

Ответ.

a) z1 =3,5; z2 =1,0
b) z1 =3; z2 = -2
c) z1 = -4; z2 = -1

Ответ.

a) z1 =6,5; z2 =1,5
b) z1 =1; z2 = -5
c) z1 = -3; z2 = -2

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
х2 = - рх - q.
Построим графики зависимостей
у = х2 и у= -рх- q
График первой зависимости – называется парабола.Она проходит через начало координат.
График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:
- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пе­ ресечения являются кор­ нями квадратного уравне­ ния ( см рис. ).

V I I I способ:

Графическое решение квадратного уравнения

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение.




прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

– 3х – 4 = 0.

Назовите корни этого уравнения.

= 0.

Назовите корни этого уравнения.

= 0.

Назовите корни этого уравнения.

решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Рассмотрим способ нахождения корней квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 c помощью циркуля и линейки.

и А(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

D(х2;0)

х

0

ось Ох в двух точках, т.е. уравнение имеет 2 различных корня.
2) Радиус окружности равен ординате центра
окружность касается оси Ох, т.е. уравнение имеет 2 равных корня
3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью Ох, т.е. уравнение не имеет корней.

= 0

х

= 0

= 0

когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.
Примеры.
1. Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим
образом:
«Квадрат и десять корней равны 39» (рис.).

Решение.

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах
строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого
из них равна 212, следовательно, площадь каждого
равна 21 2 х. Полученную фигуру дополняют затем до
нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных
квадрата, сторона каждого из них 21 2 , а площадь 61 4 .

х

х

х2

212х

21 2х

212х

212х

614

614

614

614

D

C

B

A

х2, четырех прямоугольников (4*212х=10х)
и четырех пристроенных квадратов (614*4=25), т.е. S= х2 + 10х + 25.
Заменяя х2 + 10 числом 39, получим, что
S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
Х = 8 – 212 – 212 = 3.

2х – 3 = 0
2) х2 + 4х + 4 = 0
3) х2 – 2х + 3 = 0
4) х2 – 5х + 4 = 0

Домашнее задание.