Презентация, доклад к проектной работе по математике: Функционально-графические методы при решении уравнений (11 класс)

XI информационно-математического класса
МОУ Богучарский лицей
Шведова Мария Александровна

Руководитель: Кобелева Татьяна Васильевна
учитель математики
ВКК МОУ Богучарский лицей

Функционально - графические
методы
при решении уравнений

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
XXVI НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ
СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА»

Воронеж
2011 г.

области значения.

Функциональные методы

функции (в зависимости от свойства функции).

Нахождение корня подбором, решение системы уравнений

то уравнение имеет не более 1 корня

Теорема №1

Пример 1.
2X = 3 – x
x= 1 является корнем уравнения, т.к. 21=3 – 1
2 = 2 – верное равенство
А т.к. у = 2X – возрастающая, а у = 3 – х – убывающая, то уравнение корней более не имеет.
Ответ: х=1
Пример 2.
log1/3 x= x – 4
x = 3 – является корнем уравнения, т.к. log1/3 3 = 3 – 4
-1 = - 1 – верное равенство
А т.к. у = log1/3 x – убывающая, а у = х – 4 – возрастающая, то уравнение корней более не имеет.
Ответ: х = 3

0+1=20
1=1 – верное равенство
А т.к. у= х²+1- возрастающая, а у=2-Х² - убывающая, то уравнение больше не имеет корней.
Ответ: х=0.

= const, то уравнение имеет не более одного корня.

Теорема №2

Пример 1.

2x + 3x = 9x - 4x
2x + 3x = (2x + 3x)(2x - 3x )
(2x + 3x) - (2x + 3x)(2x - 3x) = 0
(2x + 3x )(1 – (2x + 3x)) = 0
2x + 3x = 0 или 1 – (2x + 3x)=0
Т.к. ax > 0, то уравнение 1 - 2x - 3x =0
корней не имеет. 2x + 1 = 3x | : 3x ≠0
(2/3)x + (1/3)x = 1
x = 1 является корнем уравнения.
А т.к. y = (2/3)x – убывающая, у = (1/3)x –
убывающая, следовательно
у = (2/3)x + (1/3)x –убывающая и 1 = const,
то уравнение не имеет больше корней.
Ответ: х = 1

равно φ и наименьшее значение другой функции тоже равно φ, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на множестве φ системе уравнений:
g(x)=φ
f(x) =φ

Теорема №3
(Метод Мажорант)

Пример 1.
x2+3 = cosx + 2
x2 +1 = cosx
y=x2 + 1 : E(f) х2≥0 x2 + 1=1
х2+1≥1 cosx=1 x=0
y = cosx : E(f) -1≤cosx≤1
Ответ: x=0

Решение.
Найдем области значений данных функций
log3(x2 + 4x +13) ≥2, т.к. x2 + 4x +13≥9, т.к. log39=2
cosπx – sin≤2, т.к. cosπx≤1 и – sin≤1
Т.к. первая функция больше или равна двух, а вторая меньше или равна двух, то данное уравнение равносильно системе уравнений
log3(x2 + 4x +13) =2
cosπx – sin≤2
Первое уравнение имеет только один корень х=-2, подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство. Следовательно, корнем уравнения является -2.
Ответ: х=-2

4

1

учитывая сформулированные теоремы.