Презентация, доклад на тему Обобщающее повторение по теме: Применение производной к исследованию функций

школа №1» в ИК-15
г. Нижневартовска

Обобщающее повторение по теме:«Применение производной
к исследованию функций»

Габитова Зиля Фаритовна
учитель I квалификационной
категории

мёртвое. Только пропущенное через собственную
голову становится твоим достоянием»

Профессор Нойгауз

производной”, систематизировать способы деятельности учащихся по применению производной к исследованию функций.
Развивающие:
развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.
Воспитательные:
воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

У=х(2х+3)
У/=(х(2х+3))/=( х)/ (2х+3) + х(2х+3)/ =
=1(2х+3) +2х =2х+2х+3=4х+3

3. у=5х4
у/=5(х4)/=5*4х3=20х3

4.

f возрастает на этом промежутке.
2) Если f′(x) < 0 внутри промежутка I, то функция
f убывает на этом промежутке.
3) Если f′(x) = 0 внутри промежутка I, то функция
f постоянна на этом промежутке.

Примеры:

1о f(x) = 3x3 + 4x
f ′(x) = 9x2 + 4 > 0  f(x) возрастает при хR

2о f(x) = – 2x5 – 6x
f ′(x) = – 10x4 – 6 < 0  f(x) убывает при хR

3о f(x) = 12π
f ′(x) = 0  f(x) постоянна при хR

критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0.
4о Полученные данные изображаем на схеме:

5o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3].
б) Промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞).

f′(x)

x2

f(x)

–

+

x

+

–

x1

x3

области определения функция возрастает, на каких – уывает.

Пример 1.

Исследовать функцию у = 2х3 + 3х2 – 1 на монотонность .

1. Найдем производную данной функции.

уꞌ = 6х2 + 6х

2. Найдем нули производной.

6х2 + 6х = 0, 6х(х+1)=0, 6х=0 или х+1=0, х=0 или х=-1.

3. Нанесем их на числовую прямую.

х

0

-1

4. Найдем знак производной на
каждом промежутке.
уꞌ(-2) = 6(-2)2 + 6(-2)=12>0, уꞌ(1) = 6*12 +
+ 6*1=12>0,
уꞌ(-0,5) = 6(-0,5)2 + 6(-0,5)= -1,5<0

+

–

+

5. Определим поведение функции на каждом промежутке.

Функция возрастает на промежутках и .

Функция убывает на промежутке .

уꞌ

у

В точках х = - 1, х = 0 меняется монотонность функции.

Касательная к графику функции в этих точках параллельна оси Ох.

Производная в этих точках равна нулю.

окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(xo).

Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка максимума функции f(x).

f′(x)

f(x)

+

–

x

max

f(xо) – максимум функции

окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(xo).

Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то хо – точка минимума функции f(x).

f(x)

–

+

x

min

f(xо) – минимум функции

критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0.
4о Полученные данные изображаем на схеме:

5o a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума.
б) f(x1); f(x3) – максимумы функции;
f(x2) – минимум функции.

f′(x)

x2

f(x)

–

+

x

+

–

x1

x3

откуда x=0 – критическая точка.
Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: y’(-1)=
=2*(-1)=-2<0, y’(1)=2*1=2>0.



5. x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции
ymin=у(0)=02+2=2. ymin=у(0)=2.

Исследовать на экстремум функцию y=x2+2

Е(f).
Определяем четность (нечетность), периодичность функции.
Находим точки пересечения с осями координат из условий: (0; f(0)) и f(x)= 0. x01; x02; x03; …
Находим промежутки знакопостоянства, решая неравенства f(x) > 0 и f(x) < 0.
Дифференцируем функцию: f′(x).
Находим критические точки из уравнения:
f′(x) = 0.

0.
Полученные данные изображаем на схеме:

Указываем промежутки монотонности функции
а) промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3];
б) промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞).

a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума.
б) f(x1); f(x3) – максимумы функции;
f(x2) – минимум функции.
Изображаем все полученные данные в системе координат, строим график функции y = f(x).

;
б)

в) критические точки: - ; 1.
г) по результатам исследования составляем таблицу:

д) строим график функции:

1 3

х

у

-5 -2

3

-7

и начала анализа.10-11 кл. Ш.А.Алимов Москва «Просвещение» 2013.
Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
Крамор В.С. Санкт- Петербург 1995.
Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.статей / сост. Е.Г.Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. – М.: Просвещение, 1980.
Интернет Ресурсы