Презентация, доклад на тему Логарифмы (11 класс)

исследовательской деятельности учащихся на уроке математики по теме: «Логарифмы»

личностно - ориентированного обучения учащихся.
Основоположниками проектной деятельности являются американский философ и педагог Джон Дьюи и его ученик Уильям Херд Килпатрик. Взамен школьной системы, основанной на приобретении и усвоении знаний, умений и навыков, Дьюи предложил, обучение «путем делания», при котором ученики извлекали знания из собственного опыта по решению той или иной проблемы. Учителя из лекторов должны превратиться в консультантов и сотрудников.

Джон Дьюи

В настоящее время проектная деятельность очень актуальна в современном образовании, так как цель его – воспитание функционально грамотной личности.

общую цель, согласованные методы, способы деятельности, направленная на достижение общего результата деятельности. Главным условием проектной деятельности является наличие заранее выработанных представлений о конечном продукте деятельности, этапов проектирования и реализации проекта, включая его осмысление и рефлексию результатов деятельности.
Проектно-исследовательская деятельность - деятельность по проектированию собственного исследования, предполагающая выделение целей и задач, выделение принципов отбора методик, планирование хода исследования, определение ожидаемых результатов, оценка реализуемости исследования, определение необходимых ресурсов.
Привлечение обучающихся к исследовательской деятельности на уроке и во внеурочное время помогает создать максимально благоприятные условия для раскрытия и проявления творческого потенциала обучающихся, развить их воображение, мышление. Работа над проектами помогает поддерживать интерес к предмету на протяжении всего обучения математике.

На современном этапе ее роль в развитии общества резко возрастает, что приводит к усилению значимости математической подготовки всех специалистов.
Чтобы оценить огромное влияние математики на личность, достаточно перечислить общечеловеческие умения, которые приобретают обучающиеся, изучая данную дисциплину. Это – доказательства, обобщения, сравнения, аргументация, систематизация, анализ и многое другое. В связи с этим встаёт вопрос о применении таких способов организации учебного процесса, которые не только давали бы конкретные знания и прививали бы умения и навыки, но и развивали бы интеллектуальную, творческую, эмоциональную и другие сферы интересов человека. Умение обучающихся самостоятельно добывать знания и совершенствовать их, быстро и правильно решать постоянно возникающие конкретные задачи, вести диалог с коллегами и партнерами, самостоятельно принимать решения - необходимые качества конкурентоспособного выпускника учебного заведения. 

он бы учился самостоятельно. Поэтому, сегодня в центре внимания многих педагогов находится исследовательская деятельность, а в качестве одного из наиболее эффективных способов её организации можно использовать метод проектов.
Метод проектов – педагогическая технология, ориентированная не на интеграцию фактических знаний, а на их применение и приобретение новых (порой и путем самообразования).
Важнейшим признаком метода проектов является самостоятельная деятельность обучающихся. Они выступают активными участниками процесса обучения. При этом не только углубляют и расширяют свои знания по теме, но и познавательно мыслят. Для решения проблемы используют ранее полученные теоретические знания, проводят синтез, анализ, обобщение и выводы, способствующие всестороннему самостоятельному рассмотрению поставленной задачи. Все это стимулирует мыслительную активность, развивает творческие способности обучающихся, способствует эмоциональному удовлетворению и самоутверждению в глазах окружающих. В этом случае компьютер выступает как инструмент творчества, и одновременно идет процесс его освоения, изучения его богатых, часто скрытых возможностей.

При использовании данного метода он направляет деятельность обучающихся по применению ИКТ для обработки числовой, текстовой и графической информации, выполнение творческих заданий по сбору, хранению, передаче информации, а также в представлении полученного результата. 
В современных условиях преподаватель должен сделать все возможное, чтобы обучающийся испытал радость от приложенных усилий, пережил успех достижения цели. Получая теоретически обоснованные способы действий, знания, он может самостоятельно вырабатывать подобные способы действий в незнакомых ситуациях или новые способы при решении поставленных проблем.
Заметим, что невозможно заставить человека творить. Как писал фантаст А.Азимов в своем замечательном рассказе «Профессия», человек сам должен прийти к желанию искать, пробовать и ошибаться. И только тот, кто готов отстаивать свое право творить, способен на настоящее творчество, а наша задача - мотивировать обучающихся на это творчество, помогать им делать свои маленькие, а, может, и большие открытия.

«Математика» проходит следующим образом, например, изучение темы «Логарифмы» начинается с определения:
Логарифмом числа b по основанию a, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.
Обычно, такая первая встреча с логарифмами не вызывает у обучающихся особой радости и энтузиазма, логарифм невольно ассоциируется с чем-то трудным. Многие ворчат: «Ну, кому понадобились эти логарифмы?».
Мы тоже задумались над этим  и решили узнать мнения обучающихся по этому вопросу. Результаты нас озадачили. 21% первокурсников и 44%  второкурсников считают, что логарифмы не нужно изучать.

Поэтому цель нашего исследования: доказать необходимость изучения логарифмов.
Задачи, которые были нами поставлены:
1.   Проследить исторический путь развития теории логарифмов.
2.  Показать, как логарифмическая зависимость помогает описать ряд явлений природы.

облегчающие расчеты, пытались заменить сложные операции умножения и деления более простыми – сложением и вычитанием.
Логарифмы также были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.
Рассмотрим две прогрессии, арифметическую и геометрическую при b1 = 2, q = 2
1       2       3         4          5         6          7                8                 9          10      2       4       8        16        32       64       128            256             512        1024
Оказывается, эти строки позволяют упрощать вычисления.
Действительно: если мы хотим перемножить два числа нижнего ряда, например, 16 и 32 , нам достаточно сложить соответствующие числа верхнего ряда: над числом 16 стоит 4, над числом 32 стоит 5; сложим числа 4 и 5 (будет 9) и опустимся вниз – под 9 стоит 512. Значит, 16   32 = 512. (Аналогично выполняется и деление, только числа первого ряда нужно вычитать).

возведения в степень заменяется умножением, а извлечение корня – делением.
Таким образом, каждый раз, когда мы хотим выполнить действия с числами нижнего ряда, мы выполняем более  простые операции с числами верхнего ряда. А что представляют собой числа верхнего ряда? Да ведь это же показатели выписанных в нижнем ряду степеней с основанием 2. Действительно,  снизу у нас стоят степени  21, 22, 23, 24 и т. д., а вверху только показатели этих степеней 1, 2, 3, 4 и т.д. Так вот показатели степеней и называются логарифмами.
Идея Архимеда получила развитие не сразу. Пока математикам было достаточно уже имевшихся средств вычислений, они проходили мимо этого удивительного свойства прогрессий. Но в эпоху Возрождения ситуация изменилась. Крупнейшие европейские державы стремились к владычеству на море. Для дальних плаваний, для определения положения морских судов по звездам и по солнцу необходимо было всё более развивать астрономию, а значит, и тригонометрию.  И, в частности, понадобились более совершенные тригонометрические таблицы.

точность наблюдений, исследовались планетные движения. Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби.
Рассмотрим, как развивалась дальше идея логарифмов.
Мы можем предугадать первые шаги по усовершенствованию рассматриваемых строк:
1. Числа верхнего ряда целесообразно продолжить в отрицательную сторону, т.е. ввести понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем.
2. Нужно уплотнить числа нижнего ряда, чтобы можно было применить идею об упрощении вычислений вообще к любым числам (для этого, например, можно взять в нижнем ряду вместо степеней с основанием 2 степени с основанием , близким к 1).
3.  Необходимо также уплотнить числа верхнего ряда.

понятия степени. Степень с отрицательным показателем встречается уже в трактате «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта из Александрии. Им, а возможно и его предшественниками, были введены особые обозначения для некоторых положительных и отрицательных степеней.

Теперь будет интересно узнать, что мы не ошиблись  в наших предположениях. Обратимся к истории математики

Диофант из Александрии
(гг. рождения и смерти неизвестны, вероятно, 200/214 - 284/298 гг.)

Так, много позже, французский врач и математик Никола Шюке (1445 – 1500) в своем трактате «Наука о числе» более полно рассмотрел нулевые и отрицательные показатели степени.

Николай Орем (1323 – 1382)

Ещё раньше, в 14 веке, епископ города Лизье в Нормандии Николай Орем, исходя из соображений о возможности вставлять в арифметическом ряду между натуральными числами дробные, высказал мысль о том, как надо выражать в рядах (представленных выше) соответствующие величины геометрического ряда. Таким образом, он пришел к степеням с дробным показателем.

Шюке и Орему Штифель пришел к мысли о дробных показателях. Кроме того, сопоставляя ряд натуральных чисел, начинающихся единицей, он отмечал, что соответствующий единице показатель есть нуль, т.е. что a0 = 1. Числам верхнего ряда Штифель дал употребительное и поныне название «показателей» (exponent).

Михаэль Штифель (1487 – 1567)

Но кто же стал автором первых таблиц логарифмов, позволяющих свести более сложные действия к более простым?

многими, а его основная идея как бы витает в воздухе. В таких случаях к открытию приходят не один, а сразу несколько ученых. Так случилось и в истории логарифмов. Однако создатели первых логарифмических таблиц подходили к изобретению нового удобного средства для упрощения вычислений по-разному. Те соображения, которые мы выдвинули чуть раньше, пытаясь предугадать, каким путем пойдет создатель логарифмов, пожалуй, больше всего подходят к Бюрги.

Таблицы Иоста Бюрги были ещё очень несовершенны, правила работы с ними достаточно трудоемки, а многие результаты приходилось находить с помощью дополнительных приближенных приемов вычислений.

лишь в 1620 году под названием «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях». Но значительного распространения эти таблицы не получили, так как к моменту опубликования таблиц Бюрги ученому миру уже семь лет были известны другие таблицы, которые составил шотландский барон Джон Непер.

Джон Непер (1550 – 1617)

При создании таблиц логарифмов Непер исходил из идеи, которую мы сегодня оцениванием как наиболее прогрессивную и оригинальную.  Он близко подошел к понятию логарифмической зависимости. Подход Непера позволил определить логарифм любого положительного числа, но сделано это было не скоро. Члены геометрической прогрессии Непер назвал числами, а члены арифметической прогрессии – их логарифмами (от греческих слов «логос» - отношение,  «арифмос» - число). Таким образом, книга первых таблиц логарифмов вышла с вполне современным названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614).

можно было пользоваться как средством для упрощения вычислений. Однако их автор не заметил этого, подразумевая совсем иное назначение своих таблиц. Речь идет о таблицах процентов шотландского ученого и инженера Симона Стевина.

Симона Стевина (1548 – 1620)

Продвинувшись ещё немного в изучении истории логарифма, мы видим, что в один смысловой блок собираются такие понятия, как арифметическая и геометрическая прогрессии, степень, проценты, формула сложных процентов и логарифмы.

то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Вопрос правомерен. Ведь не изучают же в современной школе такие старые средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не  изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней и пр. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.
Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.
Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и  тайны.
Ряд явлений природы помогает описать  логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая.

Так почему мы в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?

При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой.

некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как горные козлы (архары), закручены по логарифмической спирали.

роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.
По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.

принадлежит Солнечная система.
Логарифмическая спираль знаменита не только тем, что её образы достаточно широко встречаются в природе, но и своими удивительными свойствами.

Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изображенной на нем логарифмической спиралью быстро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против хода часовой стрелки, то можно наблюдать кажущее увеличение или уменьшение спирали.

на разрезаемый материал, зависит от угла резанья, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от  обрабатываемого материала.

Логарифмическая спираль – это замечательная кривая, имеющая  много интересных свойств, но примеры логарифмической функции в природе на этом не ограничиваются. Поэтому рассмотрим еще несколько интересных фактов.

первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону:
объективные яркости составляют
геометрическую прогрессию со
знаменателем 2,5. Получается, что
«величина» звезды представляет
собой не что иное, как логарифм
её физической яркости. Оценивая
видимую яркость звёзд, астроном
оперирует с таблицей логарифмов
по основанию 2,5.

«бел» (в честь изобретателя А.Г.Бела), практически – его десятая доля, «децибел». Последовательные степени громкости 10 децибел, 20 децибел и т.д. составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же «сила» этих шумов (точнее – энергия) составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. То есть наше ухо с разной чувствительностью воспринимает звуки различной частоты. Если увеличивать силу какого-нибудь звука в 2,3,4 раза, то наше звуковое ощущение (громкость звука) во столько же раз не увеличивается. Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь – в 6,5 бела, рычание льва – в 807 бела. Но разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов равное 10.
По силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 106,5-1 = 105,5; 31600 раз, львиное рычание в 108,7-6,5 =102,2 158 раз.

Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах Действительно, так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числу колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. И основание этих логарифмов равно 2.

При оценке видимой яркости светил и при  измерении громкости шума, мы имеем дело с логарифмической зависимостью между величиной ощущения и порождающего его раздражения. Оказывается, что оба эти явления – следствия общего психофизического закона Вебера-Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Как видно, логарифмы вторгаются и в область психологии.

что можно рассказать о логарифмах. В заключении обратимся еще раз к  основной идее. Мы, обучаясь, не просто впитываем некоторый набор информации. Мы усваиваем научные данные об окружающем мире, о его устройстве и законах. В этот период складывается картина мира, и чем полнее и объективнее она будет, тем лучше мы будем понимать и оценивать окружающую нас жизнь, тем более полноценными людьми будем себя ощущать.  Поэтому стоит изучать вопросы, без которых картина мира будет неполноценной.
Мы постарались проследить, как в ходе истории возникала необходимость введения и изучения логарифмов, усиливалась их значимость. Показали применение логарифмов в современном мире. Тем самым, нам думается, мы смогли доказать, насколько важно изучать логарифмы для познания окружающего мира.

В.С., Богдановой Д.А., Губайдулиной В.Д.
1. Абельсон И.Б. Рождение логарифмов. М.: Л. 1948.
2. Арнольд И.В. Логарифмы в курсе элементарной алгебры. М.: Л. 1949.
3. Арцев М.Н.. Учебно-исследовательская работа учащихся. //Завуч. - 2005. -№ 5. - С. 4-29.
4. Баранова Е.В., Зайкин М.И..Как увлечь школьников исследовательской деятельностью. //Математика в школе. – 2004. -№ 2.- С. 7.
5. Болгарский Б.В. Очерки по истории математики. – Минск: Вышейша школа, 1974.
6. Воронько Т.А.. Задачи исследовательского характера. //Математика в школе. - 2004. - № 8. С. 10-11.
7. Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. Харьков, 1952.
8. Гутер Р.С., Полунов Ю.Л. Джон Непер. – М.: Знание, 1976.
9. Гухман Г.А., Трошина М.Г., Шпичко В.Н.. Проектно-проблемный подход в формировании творческого мышления. //Образование в современной школе. – 2000. - № 11-12. – С.33-35.
10. Давыдова Е.В. Искусство разработки проектов. //Информатика в образовании. – 2005. - № 8. – С.6-9.
11. Одинцова Н.И. Организация уроков теоретических исследований. //Школьные технологии. – 2002. - № 1. - С. 97-98.
12. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – Д.: ВАП, 1994.
13. Маркушевич А.И. Площади и логарифмы. М., 1979.
14. Успенский Л.В. Очерк истории логарифмов. Петроград, 1923.
15. Статьи журналов «Математика в школе» №5, 1991; №9, 2003; №8, 2004.