Презентация, доклад на тему Ключевые задачи по теме Касательная к графику функции (разработка для подготовки к экзамену)

касательная проходит через точку, лежащую на кривой.

Пусть у = х²–2х–3 и касательная
проходит через точку с абсциссой
равной 2.
Решение.
1). Обозначим абсциссу точки касания через а, тогда а=2.

f(a)=-3.
3). Найдем f´(x) и f´(а):
f´(x)=2х-2 => f´(а)=2·2–2 = 2
4). Подставим найденные числа а, f(a) и f´(а) в общее уравнение касательной у = f(a) + f´(а)(х-а)
и получим:
у = -3 +2(х-2) = -3+2х-4 = 2х-7
Значит уравнение искомой касательной имеет вид у=2х-7

6х² – 2 в точке с
абсциссой х₀ =1
Ответ: у=24х–17
2) у = х² - 3х +5 в точке с
абсциссой а = -1
Ответ:

ординатой у₀=8
Решение.
Абсцисса точки касания (х₀) находится по её ординате (т.е. данное у₀ подставляют в формулу функции и вычисляют х₀).
Ответ: у=5х+3

в точке с ординатой у₀ = -2
Ответ: у = 5х - 17

Абсцисса точки касания находится из
условия пересечения графика
функции с осью ОУ т.е. в этой точке х=0.
Ответ: у=2х+2

абсцисс.
Решение (указания).
В этом случае абсцисса точки касания (х₀) находится из условия пересечения графика функции с осью ОХ . Т.е. в этой точке у=0

в точке пересечения его с осью
ординат
Ответ:

функции.

Напишите уравнение всех
касательных к графику функции
у = х²+4х+6 проходящих через точку М(-3;-1).
Решение.
1). Проверим, принадлежит ли точка М(-3;-1)
графику функции
у(-3) = (-3)² +4(-3)+6=9-12+6=3, т.е.
точка М(-3;-1) не является точкой касания.

f(a) = a²+4a+6.
4). Найдем f´(x) и f´(а):
f´(x) =2x+4, f´(а) =2a+4.
5). Подставим числа а, f(a), и f´(а) в общее уравнение касательной
у= f(a)+f´(а)(x-a):
получим y=a²+4a+6+(2a+4)(x–a) –
уравнение касательной.

1 = a² + 4a + 6 + (2a+4)(-3–a) =>
a²+6a+5=0, значит a=-5 или a=-1.
Если a=-5, то (подставляем в наше
составленное уравнение касательной
y=a²+4a+6+(2a+4)(x–a)) и получим
y= (-5)² +4(-5)+6+(2(-5)+4)(х-(-5)) =>
y=-16x–19 – уравнение искомой касательной.

y=(-1)² +4(-1)+6+(2(-1)+4)(x+1), =>
y=2x+5 – уравнение искомой касательной.

Ответ: y=-16x–19, y=2x+5.

х²–4х+2, проходящей через точку М(-3;6)

Ответ: у=4х+18 у=6

параллельна данной прямой.

Напишите уравнения всех касательных к графику функции
у = х²–2х–8, параллельных прямой
у=-4х–4.
Решение.
1. Обозначим абсциссу точки касания-а.
2. Запишем f(a): f(a) = a²–2a–8.

f´(x)=2x–2, f´(а) =2a–2.
Но, с другой стороны, f´(а)=-4
(по условию параллельности к₁=к₂,
где к₁= f´(а), а к₂=-4).
Решим уравнение2a–2=-4,и получим a=-1.
Тогда вычислим f(a), и f´(а):
f(a)=(-1)²–2(-1)-8=1+2-8=-5, т.е. f(a)=-5, а f´(а) =-4.
Подставим найденные числа а, f(a), f´(а) в
общее уравнение касательной у=f(a)+f´(а)(x-а)
y= -5–4(x+1)=-4x–9
уравнение искомой касательной.

g(x).

если f(x) = x³ - 2x + 7, a g(x) = x
Ответ: у = х + 9; у = х + 5
2) если f(x) = x³ - 3x² + 3, a g(x) = 9x+1
Ответ: у = 9х + 8; у = 9х – 24

графику функции g(x).

Если , g(x)=-3x

Ответ: y=-3x–6

заданной прямой g(x).

Напишите уравнения всех
касательных к графику функции
у = x³-2x+1, перпендикулярной прямой x+y =0.
Решение. (Учитываем условие перпендикулярности прямых к₁·к₂=1. Значит к₁ =1/к₂ )

1).Обозначим абсциссу точки касания а.
2). Найдем f(a): f(a)=a³–2a+1.
3). Найдем f´(x) и f´(а):
f´(x)=3x²–2, f´(а) =3a²–2 = к₁
4). Составим уравнение (по условию перпендикулярности прямых) 3a²–2= 1/-1
значит 3a²–2= -1 => 3a²=1 => a²=1/3 =>
а= ± √1/3

т.к. f(a)=a³–2a+1 и f´(а) =3a²–2, то
f(a)=(√(1/3))³ -2· √(1/3)+1= 1/3· √(1/3) -2· ·√(1/3)+1 = …
f´(а) =3 · (√(1/3))²-2=…
Подставим найденные числа а, f(a), f´(а)
в общее уравнение касательной
у=f(a)+ f´(а)(x-a): …

и f´(а) =3a²–2, то
f(a)=(-√(1/3))³ -2·(- √(1/3))+1=….
f´(а) =3 · (-√(1/3))²-2=….
Подставим найденные числа а, f(a), f´(а)
в общее уравнение касательной
у=f(a)+ f´(а)(x-a): ……

Ответ: y=x–1 y=x+3

заданной прямой g(x)

Если и g(x)=x

Ответ: y= - x–1; y= -x+7