Презентация, доклад на тему Функции и графики

Кравченко Н.И.
Ст. Ленинградская

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, массу, температуру, время и другие. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными.
Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса.
Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции - важнейшее понятие математики.

числа, называется линейной функцией.
а) Если к=0, тогда у=в.
Графиком является прямая, параллельная оси ох и отстоящая от нее на в единиц вверх, если в>0 (рис.1), и вниз, если в<0 (РИС .2); если в=0, то прямая совпадает с осью ох
(РИС .3).

пропорциональностью. Она определена на множестве R . Функция является монотонно возрастающей, если к>0, и монотонно убывающей, если к<0.Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При к>0 точки графика принадлежат 1 и 3 координатным четвертям(РИС.4). При к<0 точки графика принадлежат 2 и 4 координатным четвертям(РИС.5).

всех действительных чисел.
Функция имеет единственный нуль в точке х=-в/к.
Функция является монотонно возрастающей при к>0
(рис.6 ) и монотонно убывающей при к<0 (РИС.7).

Рис.6

Рис.7

х

х

у

у

имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента в определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент к определяет тангенс угла α, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если к>0, то образованный угол острый, если к<0, то угол тупой.

х

у

х

в

ᾳ

к>0

к<0

Рис.8

ᾳ

Рис.9

К=tgᾳ

у

является прямая, то для ее построения достаточно задать координаты двух точек. Составим таблицу значений.
Х: 0; 2 у :1; 3
Построим на координатной плоскости хоу точки (0;-1) и (2;3) и проведем через них прямую.



Учебный элемент №1
Цель: закрепить умение строить графики линейных функций.
Задание самостоятельной работы (на 15 мин.)
Построить графики функций.
1 вариант. 2 вариант.
У=4х, у=3х,
У=-2х, у=-5х,
У=3х+1, у=2х-3,
У=-1/2х-3. у=-1/3х+2.

.

.

.

.

пропорциональностью.
Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (-∞;0)U(0;∞).
Если к>0, то функция монотонно убывает на всей области определения функции (рис.10). Если к<0, то функция монотонно возрастает на всей области определения (рис.11).
График обратной пропорциональности называется гиперболой.

у

у

х

х

Рис.10

Рис.11

1 вариант. 2 вариант.
у=2/х, у=4/х,
у=-5/х, у=-3/х,
у=4/х+1, у=2/х-2

Учебный элемент №2.

Цель: закрепить навык построения графиков
обратно-пропорциональной зависимости.

Пример.
Построить график функции у=3/х.
Составим таблицу значений функции:
Отметим на координатной плоскости точки
с найденными координатами. Соединив
ломаной отмеченные точки, получим
две ветви графика функции у=3/х.

х

у

называется квадратичной.
а) Функция вида у=ах – простейшая квадратичная функция. Ее график называется параболой. Он проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх, если а>0 (Рис.12)
или вниз, если а<0 (Рис.13).

2

Учебный элемент №3.
Цель: закрепить навык построения графиков квадратичных функций.
Задания самостоятельной работы (на 15 мин.)
Построить графики.
1 вариант. 2 вариант.
У=2х , у=3х ,
У=-3х +1 у=-2х - 2.

у

х

у

х

Рис.12

Рис.13

2

2

2

2

2

показательной.
Эта функция определена для любых действительных.
График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0;1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее.
При а>1 функция монотонно возрастает (Рис14)., а при 0<а<1 – монотонно убывает (Рис.15).

х

х

у

у

х

Рис.14

Рис.15

х>0, называется логарифмической.

Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1;0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее.

При а>1 функция монотонно возрастает (Рис.16),

а при 0

а

у

х

у

х

Рис.16

Рис.17

: закрепить навыки построения графиков
показательной функции.

Задание для самостоятельной работы (15 мин.).

1 вариант 2 вариант
Построить графики
У=3 у=5
У=(1/2) +1 у=(1/3) -2
У=2* 4 -2 У=3* 2 +1

Учебный элемент№5
Цель : закрепить навыки построения графиков логарифмических функций.
Задание для самостоятельной работы (15 мин).
1 вариант 2 вариант
Построить графики функций.
у=log х у=log х
у=log x+1 y=log x-2
у=2 log x y=3log x

х

х

х

х

х

х

х

х

х

2

2

2

3

3

3

Функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел. Эта функция ограничена:IsinxІ≤1 . Она периодическая, ее период Т=2пк, кєz. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
График называется синусоидой.

2).Функция косинус.
Определение
Числовая функция, заданная формулой у=cosx, называется косинусом.
Функция определена и непрерывна при всех действительных значениях х. Эта функция ограничена:IcosxI≤1. Она периодическая, ее период Т=2пк,кєZ. Функция четная, и ее график симметричен относительно оси ординат.
График называется косинусоидой.

у

у

х

х

определена при х≠П/2+Пк,кєZ. Ее областью значений является интервал (-∞;+∞).Она периодическая, ее период Т=Пк, кєz. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. В
точках х=П/2+Пк, кєz функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График функции называется тангенсоидой.





4).Функция котангенс
Определение
Числовая функция, заданная формулой у=ctgx, называется котангенсом.
Функция определена при х≠Пк,Кєz, ее областью значений является интервал (-∞;+∞). Она периодическая, ее период Т=Пк, кєz. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. В точках х=Пк, кєz функция терпит разрыв, т. е. функция не является непрерывной. График функции называется котангенсоидой.

у

х

у

х

п/2

п

графика функции у=f(х)+с следует график функции у=f(х) сдвинуть вдоль оси Оу на с единиц в сторону, совпадающую со знаком с, или перенести параллельно ось Ох в сторону, противоположную знаку.
Пример 1
Построить график у=sinx+2.
Построение
а) строим график функции у=sinx ;
б) сдвигаем график функции у=sinx на 2 единицы вверх по оси Оу.

у

х

y=sinx

y=sinx+2

следует график функции у=f(х) сдвинуть вдоль оси Ох на с единиц в сторону, противоположную знаку с, или перенести параллельно ось Оу в сторону, совпадающую со знаком с.
Пример 2
Построить график функции у=(х-1) .
Построение
а) строим график функции у=х ;
б) сдвигаем график у=х на единицу вправо вдоль оси Ох.

22

2

2

2

у

х

У=х

2

У=(х-1)

2

у=f(-х) следует построить график функции у=f(х) и отобразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции у=f(-х).
Пример 3
Построить график функции у=2(-х).
Построение
а) строим график у=2х;
б) отобразим график у=2х относительно оси Оу.

у

х

х

у

У=2х

У=2(-х)

график у=f(х) и отобразить его относительно оси абсцисс.
Пример 4
Построить график функции у=-1/х.
Построение
а) строим график функции у=1/х;
б) отобразим график функции относительно оси Ох.

у

х

у

х

У=1/х

У=-1/х

Для построения графика функции у=а f(х) следует построить график функции у=аf(х) и уменьшить его ординаты в 1/а раз при 0Пример 5
Построить график функции у=1/2sinx.
Построение
а) построим график функции у=sinx ;
б) уменьшим его ординаты в 2 раза.

х

у

х

У=sinx

у=1/2sinx

у

графика функции у=аf(х) следует построить график функции у=f(х) и увеличить его ординаты в а раз при а>1.
Пример 6
Построить график функции у=2sinx.
Построение
а) построим график функции у=sinх;
б) увеличим его ординаты в 2 раза.

у

х

в) Растяжение графика вдоль оси абсцисс у=f(ах); 0Для построения графика функции у=f(ах) следует построить
график функции у=f(х) и увеличить его абсциссы в 1/а раз при 0Пример 7
Построить график функции у=sin(1/2х).
Построение
а) построим график функции у=sinх;
б) увеличим его абсциссы в 2 раза.

У=sinх

У=2sinх

у

х

У=sinх

У=sin(1/2х)

у=f(ах) следует построить график функции у=f(х) и уменьшить его абсциссы в а раз при а>1. у
Пример 7
Построить график функции у=sin2х.
Построение
а) построим график функции у=sinx;
б) уменьшим абсциссы в 2 раза.

у

х

У=sinх

У=sin2х

Учебный элемент №6
Цель: закрепить навык построения смещенных графиков функций.
Задания самостоятельной работы (на 15 мин)
Построить графики функций
1 вариант 2 вариант
У=2sin(х+п/2)-1 у=3cos(х-п/2)+1
У=1/2cos(2х) у=1/3sin(2х)
У=3sinх+2 у=2cosх-2