Презентация, доклад на тему Формулы сокращенного умножения

М.С.

всё перетрут!»

по
теме «Формулы сокращённого умножения».
Развивающие:
развитие мышления, умения логически рассуждать, проводить
классификацию предложенных объектов;
развитие учебно-познавательной активности.
Воспитательные:
воспитание ответственности за результаты учебного труда;
воспитание культуры общения, личностных качеств учащихся, их
коммуникативных характеристик;
воспитание интереса к предмету.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование: РС, проектор, экран.

Цели урока

2.Блиц–опрос «Продолжите предложение».
3.Разминка «Найдите и исправьте ошибки».
4.Устное упражнение
«Восстановите тождества».
5.Основной этап урока «Зашифрованное слово».
6.Историческая справка.
7.Домашнее задание (тест).
8.Итог урока.

Организационный момент
Сегодня у нас очередной обобщающий урок – урок-обобщение по теме
«Формулы сокращённого умножения».
Как можно сформулировать цель нашего урока, исходя из его темы?

- Речь идёт о формулах, значит их много (больше одной). Надо каждую
вспомнить и проиллюстрировать примером. Иными словами,
обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт работы
с формулами сокращённого умножения.

А зачем это необходимо?
- Для возможности применять формулы сокращённого умножения при
выполнении различных заданий.

Итак, наша цель:
обобщить опыт применения формул сокращённого умножения ,
научиться выбирать рациональный путь решения тех или иных
заданий.

квадрату первого числа плюс…
(а + в)² = а² + 2ав + в²
2)Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус …
(а – в)² = а² – 2ав + в²
3)Разность квадратов двух чисел равна произведению …
а² – в² = (а – в)(а + в)
4)Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на …
а³ + в³ = (а + в)(а² – ав + в²)
5)Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на …
а³ – в³ = (а – в)(а² + ав + в²)
6)Куб суммы двух чисел…
(а + в)³ = а³ + 3а²в + 3ав² + в³
7)Куб разности двух чисел…
(а – в)³ = а³ – 3а²в + 3ав² – в³

49у²

2) (6а – 9в)² = 12а² – 54ав + 18в²

3) (3х – 5у)(3х + 5у) = 6у² – 10х²

4) 100р² – 4с² =(10р + 2с)(10р – 2с)

5) (4 + 3а)(3а – 4) = 16 – 9а²

6) 8 – n³ = (2 + n)(4 – 4n + n²)

7) m³ + 27 = (m – 3)(m² + 3m + 6)

1) (х + 7у)² = х² + 14ху + 49у²

2) (6а – 9в)² = 36а² – 108ав + 81в²

3) (3х – 5у)(3х + 5у) = 9х² – 25у²

4) 100р² – 4с² =(10р + 2с)(10р –2с)

5) (4 + 3а)(3а – 4) = 9а² – 16

Молодцы!

6) 8 – n³ = (2 – n)(4 + 2n + n²)

7) m³ + 27 = (m + 3)(m² – 3m + 9)

…)²

2) (… – …)² = … – 42mn + 49n²

3) (… + 3в)² = … + … + 12ав

4) (2х – …)² = … – … + 36у²

5) (… + 4m)² = … + 40m + 16m²

6) 81а² – в² = (… – в)(в + …)

7) (… + 2n)(2n – …) = 4n² – 25р²

8) 1 – …а³ = (… – 4а)(… + 4а + …а²)

1) в² + 20в + 100 = (в + 10)²

2) (3m – 7n)² = 9m² – 42mn + 49n²

3) (2а + 3в)² = 4а² + 9в² + 12ав

4) (2х – 6у)² = 4х² – 24ху + 36у²

6) 81а² – в² = (9а – в)(в + 9а)

5) (5 + 4m)² = 25 + 40m + 16m²

7) (5р +2n)(2n – 5р) = 4n² – 25р²

Молодцы!

8) 1 – 64а³ = (1 – 4а)(1 + 4а + 16а²)

а) 27² – 23² в) 55² + 2·55·45 + 45² д)
б) 29·31 г) 48² – 2·48∙8 +8²

Ключ к ответам
100 – Р 10000 – Л
1600 – Е 899 – Й
200 – Э

Вспомним, какие основные задания мы выполняли, применяя формулы сокращённого умножения.
1) Нахождение значение выражения.
2) Преобразование выражений.
3)Разложение на множители.
4)Сокращение дробей.
5) Решение уравнений.
Рассмотрим примеры таких заданий.

+ 23) = 4·50 = 200 Э
б) 29·31 = (30 – 1)(30 + 1) =30² – 1² = 900 – 1 = 899 Й
в) 55² + 2·55·45 + 45² = (55 + 45)² = 100² = 10000 Л
г) 48² – 2·48∙8 + 8² = (48– 8)² = 40² = 1600 Е
д) = = = 100 Р

Ответ: Эйлер

Историческая справка

Эйлер (1707 – 1783г.г.) родился в Швейцарии. Двадцатилетним юношей он был приглашён в Петербургскую Академию наук. Он был соратником Ломоносова. Он создал более 800 трудов, которые заняли 72 тома. Среди его работ – первые учебники по решению уравнений. Старшеклассники учатся по учебникам, прообразы которых создал этот учёный. Последние 17 лет своей жизни он был слепым, но продолжал работать, диктуя труды своим ученикам. В научном мире он больше известен как физик, который построил теорию движения Луны с учётом притяжения не только Земли, но и Солнца.

4)(у + 5)² Н
О (х – 3)(х + 1)
Д 4а – 8 И 27 + х
Т 1,5 Ф (в – 3)(в + 5)

2.Упростите выражение:
а) (а – 2)(а + 2) – (а – 2)² б) (х + 3)(х² – 3х + 9) – х(х – 1)(х + 1)
3.Разложите на множители:
а) х² – 9 – 2х + 6 в) у²(у – 4) + 10у(у – 4) + 25(у – 4)
б) (в + 1)² – 16

4.Сократите дробь:

5.Решите уравнение: (х + 6)² – (х – 5)(х + 5) = 79

Молодцы!

= = Н

5.Решите уравнение:
(х + 6)² – (х – 5)(х + 5) = 79
х² + 12х + 36 – (х² – 25) = 79
х² + 12х + 36 – х² + 25 = 79
12х + 61 = 79
12х = 79 – 61
12х = 18
х = 18 : 12
х = 1,5 Т

Ответ: Диофант

2.Упростите выражение:
а) (а – 2)(а + 2) – (а – 2)² = а² – 4 – (а² – 4а + 4) = а² – 4 – а² + 4а – 4 = 4а – 8 Д
б) (х + 3)(х² – 3х + 9) – х(х – 1)(х + 1) = х³+ 27 – х(х² – 1) = х³+ 27 – х³+ х = 27 + х И
3.Разложите на множители:
а) х² – 9 – 2х + 6 = (х – 3)(х + 3) – 2(х – 3) = (х – 3)(х + 3 – 2) = (х – 3)(х + 1) О
б) (в + 1)² – 16 = (в + 1 – 4)(в + 1 + 4) = (в – 3)(в + 5) Ф
в) у²(у – 4) + 10у(у – 4) + 25(у – 4) = (у – 4)(у + 10у + 25) = (у – 4)(у + 5)² А

Проверка

был первым учёным, который перешёл к алгебраическим уравнениям. В его книге «Арифметика» появляются зачатки буквенной символики и специальные обозначения для степеней. Он первый доказал, что уравнение имеет столько корней, какова его степень. Его трактат «Арифметика» содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений, которые мы будем изучать в следующем учебном году. В это же время появились формулы, которыми мы пользуемся и сейчас, и которые стали называться формулами сокращённого умножения.

Вариант 1
Часть 1
1.Представьте в виде многочлена выражение: (2 – 5а)²
1) 4 – 10а + 25а² 2) 4 – 20а + 25а²
3) 4 – 20а + 5а² 4) 4 – 25а²
2.Выполните умножение: (3х – 5у)(3х + 5у)
1) 25у² + 9х² 2) 25у² – 9х²
3) 9х² – 25у² 4) 9х² + 25у²
3.Какой двучлен можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов?
1) 9х³ – 27а³ 2) 8х³ – 27а³
3) 9х³ + 27а³ 4) 8х³ + 27а³
4.Разложите на множители трёхчлен: у² – 16у + 64
1) (у – 8)² 2) (у + 8)²
3) (у – 8)(у + 8) 4) (у – 64)²

Часть 2

5.Сократите дробь:

6. Решите уравнение: а) (х – 7)² + 3 = (х – 2)(х + 2)
б) а³ – 36а = 0

Вариант 2
Часть 1
1.Представьте в виде многочлена выражение: (3а – 2)²
1) 9а² – 6а + 4 2) 3а² – 12а + 4
3) 9а² – 12а + 4 4) 9а² – 4
2.Выполните умножение: (7 – 9у)(7 + 9у)
1) 81у² + 49 2) 49 – 81у²
3) 81у² – 49 4) 49 + 81у²
3.Какой двучлен можно разложить на множители, используя формулу разности
кубов? 1) 125х³ – 8а³ 2) 25х³ – 9а³
3) 25х³ + 9а³ 4) 125х³ + 8а³
4.Разложите на множители трёхчлен: у² + 12у + 36
1) (у + 36)² 2) (у – 6)²
3) (у – 6)(у + 6) 4) (у + 6)²

Часть 2

5.Сократите дробь:

6. Решите уравнение: а) (х + 4)(х – 4) = (х – 3)² – 13
б) а³ – 25а = 0

облегчают нам работу при выполнении различных заданий: при вычислениях, преобразовании выражений, разложении на множители, сокращении дробей, решении уравнений и т. д. Вспомним их ещё раз.

Формулы сокращённого умножения

1) Квадрат суммы (а + в)² = а² + 2ав + в²
2) Квадрат разности (а – в)² = а² – 2ав + в²
3) Разность квадратов а² – в² = (а – в)(а + в)
4) Сумма кубов а³ + в³ = (а + в)(а² – ав + в²)
5) Разность кубов а³ – в³ = (а – в)(а² + ав + в²)
6) Куб суммы (а + в)³ = а³ + 3а²в + 3ав² + в³
7) Куб разности (а – в)³ = а³ – 3а²в + 3ав² – в³