Уравнения
(электронное пособие. Часть 1)
Автор: методист, учитель математики МАОУ СОШ №34
Антон Сергеевич Некрасов
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад на тему Электронное пособие Уравнения. Часть 1
Содержание
- 1. Электронное пособие Уравнения. Часть 1
- 2. Приветствуем тебя, дорогой пользователь!Перед тобой электронное пособие,
- 3. Оглавление1. Основные определения2. Линейные уравнения с одной переменной3. Квадратные уравнения4. Биквадратные уравнения5. Рациональные уравненияВЫХОД
- 4. Основные определенияУравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой
- 5. Линейные уравненияОпределенияАлгоритм решения линейного уравненияПримеры решения 3.1 Примеры решения (видео)4. Задания для самопроверкиОГЛАВЛЕНИЕВЫХОД
- 6. Линейное уравнение с одной переменной x – это
- 7. Привести уравнение к виду a · x
- 8. Примеры решенияРешите линейное уравнение 0·x−0=0.В этом линейном уравнении a=0 и b=−0,
- 9. Найдите корень уравнения 0,3·x−0,027=0.a=0,3; b=0,0270,3·x = 0,027;x=0,027:0,3;x=0,09.Проверка:0,3· 0,09
- 10. Линейные уравнения (видео)ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОДТребования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить видео
- 11. Задания для самопроверки 6x+18=0 5x−3=0 4x−7=0 −5x+6=0
- 12. Ответы-3 0,61,751,2-5-0,251,75-1,8111,58,6-6,41,75-0,53-7,5-24,5-3,5-72-5-0,75-3,25-3-81-24-14-97ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯНАЗАДВЫХОД
- 13. Квадратные уравненияОпределенияРешение неполных квадратных уравнений 2.1 Неполные квадратные
- 14. ОпределенияКвадратное уравнение – это уравнение вида a·x2+b·x+c=0 (или приводимое
- 15. Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1,
- 16. Решение неполных квадратных уравненийа · x2 =
- 17. a·x2+c=0, b=01. Перенести c в правую часть уравнения: a·x2=−c2. Разделить
- 18. a·x2+b·x=0, с=01. Разложить левую часть уравнения на
- 19. Неполные квадратные уравнения (видео)КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОДТребования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить видео
- 20. Формула корней квадратного уравненияa·x2+b·x+c=0КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОД
- 21. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корнейКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОД
- 22. Решение квадратных уравнений (видео)КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОДТребования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить видео
- 23. Теорема ВиетаВариант 1. Если x1 и x2 – корни квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0,
- 24. Теорема Виета (видео)КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОДТребования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить видео
- 25. Первый способПостроим график функции x2 −2x−3=0.a=1, b=−2, x0=−b/2a=1, y0=f(1)=−4.Вершина
- 26. Второй способПреобразуем уравнение к виду x2 =2x+3.Построим
- 27. Решение уравнений графическим способом (видео)КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОДТребования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить видео
- 28. x2+7x+6=0 x2+3x−54=0 −7x2−3x=0 4x2−5x=0 14x2−1=0 x2−16=0
- 29. Ответы -6; -1 -9; 6 0; -3/7 0;
- 30. Биквадратные уравненияОпределение и способ решенияЗадания для самопроверкиОГЛАВЛЕНИЕВЫХОД
- 31. Определение и способ решенияУравнение четвертой степени вида
- 32. 1. х4 – 4х2 + 4 = 0;2. –
- 33. Ответы1. √2, -√2;2. √2, -√2;3. 1, -1;4.
- 34. Рациональные уравненияОпределениеАлгоритм решения целых уравнений 2.1 Алгоритм решения
- 35. Рациональные уравненияРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОД
- 36. Алгоритм решения целых уравнений1. Выражение из правой
- 37. Алгоритм решения целых уравненийметодом разложения на множители
- 38. Пример решения целых уравненийметодом введения новой переменной(x2+3·x+1)2+10=−2·(x2+3·x−4);Замена
- 39. Целые уравнения (видео)РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОДТребования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить видео
- 40. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений P(x)/Q(x)=0Рассмотрим алгоритм решения
- 41. Алгоритм №2 (ОДЗ. Удобен, если корни P(x)=0 иррациональные
- 42. Алгоритм №3 (P(х)- число)- если это число
- 43. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений R(x)=S(x)Рассмотрим алгоритм решения
- 44. Дробно-рациональные уравнения (видео)РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДАЛЕЕНАЗАДВЫХОДТребования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить видео
- 45. 11/(x−2)=11/2; 10/(x+6)=−5/3; 10/(x−4)=5/2; 7/(x−14)=14/(x−7); 1/(x−5)+1/(x+3)=0; 9/(x−11)+11/(x−9)=2;
- 46. Ответы 4; -12; 8; 21; 1; 10; 20;
- 47. Математика. 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с
Приветствуем тебя, дорогой пользователь!Перед тобой электронное пособие, предназначенное для актуализации твоих знаний по теме «Уравнения». Часть 1 содержит материалы по линейным уравнениям, квадратным и биквадратным уравнениям, рациональным уравнениям (44 слайда, оснащенных гиперссылками для управления). Пособие содержит
Слайд 1МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №34 ИМЕНИ 79-Й ГВАРДЕЙСКОЙ
СТРЕЛКОВОЙ ДИВИЗИИ
Г. ТОМСКА
Слайд 2Приветствуем тебя, дорогой пользователь!
Перед тобой электронное пособие, предназначенное для актуализации твоих
знаний по теме «Уравнения». Часть 1 содержит материалы по линейным уравнениям, квадратным и биквадратным уравнениям, рациональным уравнениям (44 слайда, оснащенных гиперссылками для управления). Пособие содержит видео-уроки, что позволяет прослушать необходимую информацию обучающимся с нарушением зрения. Для корректной работы необходимо распаковать архив в одну папку.
Плодотворного обучения!!!
ЗАПУСТИТЬ
Плодотворного обучения!!!
ЗАПУСТИТЬ
ВЫХОД
Слайд 3Оглавление
1. Основные определения
2. Линейные уравнения с одной переменной
3. Квадратные уравнения
4. Биквадратные
уравнения
5. Рациональные уравнения
5. Рациональные уравнения
ВЫХОД
Слайд 4Основные определения
Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Уравнения с одной,
двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.
ОГЛАВЛЕНИЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 5Линейные уравнения
Определения
Алгоритм решения линейного уравнения
Примеры решения
3.1 Примеры решения (видео)
4. Задания для
самопроверки
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВЫХОД
Слайд 6Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида
a · x
+ b = 0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
Уравнениями, сводящиеся к линейным уравнениям - уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a · x + b = 0.
Примеры: 4х+2=0; 8х-12=0; 9-12х=0; 5х=2-4х; 4-3х=2х-5.
Уравнениями, сводящиеся к линейным уравнениям - уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a · x + b = 0.
Примеры: 4х+2=0; 8х-12=0; 9-12х=0; 5х=2-4х; 4-3х=2х-5.
Определения
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 7
Привести уравнение к виду a · x + b = 0
По
записи линейного уравнения определить значения коэффициентов a и b.
Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.
Если a ≠0, то:
5.1. Коэффициент b перенести в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a · x = −b,
5.2 Обе части полученного уравнения разделить на отличное от нуля число a. Получен искомый корень исходного линейного уравнения
x = −b /а.
Сделать проверку, подставив найденное число в исходное уравнение (должно получиться тождество)
Записать ответ
Если a=0 и b=0, то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
Если a=0 и b≠0, то исходное уравнение не имеет корней.
Если a ≠0, то:
5.1. Коэффициент b перенести в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a · x = −b,
5.2 Обе части полученного уравнения разделить на отличное от нуля число a. Получен искомый корень исходного линейного уравнения
x = −b /а.
Сделать проверку, подставив найденное число в исходное уравнение (должно получиться тождество)
Записать ответ
Алгоритм решения линейного уравнения
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 8Примеры решения
Решите линейное уравнение 0·x−0=0.
В этом линейном уравнении a=0 и b=−0, что то же самое, b=0.
Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.
Ответ: х – любое число
Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0?
В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7, то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней
Ответ: х – любое число
Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0?
В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7, то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 9Найдите корень уравнения 0,3·x−0,027=0.
a=0,3; b=0,027
0,3·x = 0,027;
x=0,027:0,3;
x=0,09.
Проверка:
0,3· 0,09 – 0,027=0,027-0,027=0
Ответ: х=0,027
Найдите корень
уравнения 5x + 14=-2х.
5х+2х+14=0;
7х+14=0;
a=7; b=14;
7x = -14 ;
x=-14 : 7;
x=-2.
Проверка:
5·(-2) +14=4; -2·(-2)=4; 4=4.
Ответ: х=-2
5х+2х+14=0;
7х+14=0;
a=7; b=14;
7x = -14 ;
x=-14 : 7;
x=-2.
Проверка:
5·(-2) +14=4; -2·(-2)=4; 4=4.
Ответ: х=-2
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 10Линейные уравнения (видео)
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Требования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить
видео
Слайд 11Задания для самопроверки
6x+18=0
5x−3=0
4x−7=0
−5x+6=0
4x+10=−10
10x+1=6x
−x−7=−5x
−4+3x=8x+5
−7x−7=4−8x
3−4x=−8x+9
5(x−9)=−2
−7=5(x+5)
7(x−1)=3x
2(7+9x)=−6x+2
−6(9−5x)=9x+9
10−2(−x−7)=9
−3x+4=−10+5(−7−x)
5x−6(5+2x)=x−2
x−1+(x+2)=−4(−5−x)−5
−2x+1+5(x−2)=−4(3−x)+1
x−x/12=−55/12
x−x/7=−9/14
x−x/9=−26/9
x+x/12=−13/4
x/8=x/11=−19/11
x/11+x/2+x=35/22
(x+4)/4−x/3=3
(x+4)/2−x=9
(4x+6)/2+9=2x/3
(4x+4)/8+5=9x/7
3−4x=−8x+9
5(x−9)=−2
−7=5(x+5)
7(x−1)=3x
2(7+9x)=−6x+2
−6(9−5x)=9x+9
10−2(−x−7)=9
−3x+4=−10+5(−7−x)
5x−6(5+2x)=x−2
x−1+(x+2)=−4(−5−x)−5
−2x+1+5(x−2)=−4(3−x)+1
x−x/12=−55/12
x−x/7=−9/14
x−x/9=−26/9
x+x/12=−13/4
x/8=x/11=−19/11
x/11+x/2+x=35/22
(x+4)/4−x/3=3
(x+4)/2−x=9
(4x+6)/2+9=2x/3
(4x+4)/8+5=9x/7
Решите уравнение
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 12Ответы
-3
0,6
1,75
1,2
-5
-0,25
1,75
-1,8
11
1,5
8,6
-6,4
1,75
-0,5
3
-7,5
-24,5
-3,5
-7
2
-5
-0,75
-3,25
-3
-8
1
-24
-14
-9
7
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 13Квадратные уравнения
Определения
Решение неполных квадратных уравнений
2.1 Неполные квадратные уравнения (видео)
3. Формула корней
квадратного уравнения
3.1 Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
3.2 Решение квадратных уравнений (видео)
4. Теорема Виета
4.1 Теорема Виета (видео )
5. Графический способ решения квадратного уравнения
5.1 Решение уравнений графическим способом(видео)
6. Задания для самопроверки
3.1 Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
3.2 Решение квадратных уравнений (видео)
4. Теорема Виета
4.1 Теорема Виета (видео )
5. Графический способ решения квадратного уравнения
5.1 Решение уравнений графическим способом(видео)
6. Задания для самопроверки
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВЫХОД
Слайд 14Определения
Квадратное уравнение – это уравнение вида a·x2+b·x+c=0 (или приводимое к этому виду), где x –
переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.
Примеры: 2·x2+6·x+1=0; 0,2·x2+2,5·x+0,03=0; 2·x2+1=0; 0,2·x2+2,5·x=0.
Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x2, b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x, а c – свободным членом.
Примеры: 2·x2+6·x+1=0; 0,2·x2+2,5·x+0,03=0; 2·x2+1=0; 0,2·x2+2,5·x=0.
Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x2, b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x, а c – свободным членом.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 15Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
Примеры:
x2+6·x+1=0; x2+2,5·x+0,03=0; x2+1=0; x2+2,5·x=0.
В противном случае квадратное уравнение является неприведенным.
Квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.
Примеры: 2·x2+1=0; 0,2·x2+2,5·x=0.
Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
Примеры: 2·x2+6·x+1=0; 0,2·x2+2,5·x+0,03=0.
В противном случае квадратное уравнение является неприведенным.
Квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.
Примеры: 2·x2+1=0; 0,2·x2+2,5·x=0.
Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
Примеры: 2·x2+6·x+1=0; 0,2·x2+2,5·x+0,03=0.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 16Решение неполных квадратных уравнений
а · x2 = 0, b=0, с=0
Уравнению a·x2=0 равносильно
уравнение x2=0, которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a. Корнем уравнения x2=0 является нуль, так как 02=0. Других корней это уравнение не имеет, что объясняется свойствами степени.
Неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.
Пример:
−4·x2=0; x2=0; x=0.
Проверка:
−4·02= −4·0=0.
Ответ: х=0
Неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.
Пример:
−4·x2=0; x2=0; x=0.
Проверка:
−4·02= −4·0=0.
Ответ: х=0
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 17a·x2+c=0, b=0
1. Перенести c в правую часть уравнения: a·x2=−c
2. Разделить обе части уравнения на a:
x2=−c/а
2.1 Если −c/а < 0, то уравнение a·x2=−c не имеет корней, т.к. x2 ≥ 0
2.2 Если −c/а > 0, то корни уравнения x2=−c/а равны √(−c/а) и -√(−c/а)
2.1 Если −c/а < 0, то уравнение a·x2=−c не имеет корней, т.к. x2 ≥ 0
2.2 Если −c/а > 0, то корни уравнения x2=−c/а равны √(−c/а) и -√(−c/а)
Пример:
9·x2+4=0;
9·x2=-4;
x2 =-4/9 < 0.
Ответ: корней нет
Пример:
9·x2-4=0;
9·x2=4;
x2 =4/9 > 0;
x1= √4/9=2/3;
x2=-√4/9= -2/3.
Проверка:
x1 : 9·(2/3)2-4= 9 · (4/9)-4=4-4=0;
x2 : 9·(-2/3)2-4= 9 · (4/9)-4=4-4=0.
Ответ: x1= 2/3, x2=-2/3.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 18a·x2+b·x=0, с=0
1. Разложить левую часть уравнения на множители путем вынесения общего
множителя «х» за скобки: х(ах+b)=0;
2. Решить эквивалентную совокупность из 2-х уравнений: x=0 и ax+b=0;
2.1 ax+b=0 – линейное уравнение. x=−b/a;
3. Получаем 2 корня: x1=0, x2= −b/a.
2. Решить эквивалентную совокупность из 2-х уравнений: x=0 и ax+b=0;
2.1 ax+b=0 – линейное уравнение. x=−b/a;
3. Получаем 2 корня: x1=0, x2= −b/a.
Пример:
9·x2-4x=0;
x(9·х – 4)=0;
x1= 0 или 9·х–4=0;
x2=4/9.
Проверка:
x1 : 9·(0)2-4·0= 9 · (0)-0=0-0=0;
x2 : 9·(4/9)2-4 · (4/9) = 9 · (16/81) - 4 ·(4/9)=16/9-16/9=0.
Ответ: x1= 0, x2=4/9.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 19Неполные квадратные уравнения (видео)
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Требования к размерам файла не предоставляют возможность
загрузить видео
Слайд 22Решение квадратных уравнений (видео)
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Требования к размерам файла не предоставляют возможность
загрузить видео
Слайд 23Теорема Виета
Вариант 1. Если x1 и x2 – корни квадратного уравнения a·x2+b·x+c=0, то сумма корней равна
отношению коэффициентов b и a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов c и a, то есть, x1+x2=-b/a; x1·x2 =c/a.
Вариант 2. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+p·x+q=0 равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену, то есть, x1+x2=−p, x1·x2=q.
Пример:
2x2-4х-6=0; а=2, b=-4, с=-6;
x1+x2=2; x1·x2 = -3;
x1=3; x2=-1
Проверка:
x1 : 2·(3)2-4·3-3 =18-12-3=3;
x2 : 2·(-1)2-4·(-1)-3 =2+4-3=3.
Ответ: x1=3, x2=-1.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 24Теорема Виета (видео)
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Требования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить
видео
Слайд 25Первый способ
Построим график функции x2 −2x−3=0.
a=1, b=−2, x0=−b/2a=1, y0=f(1)=−4.
Вершина параболы: (1;−4)
Ось параболы — прямая x=1.
2. Возьмём
на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы: x=−1 и x=3; f(−1)=f(3)=0. Построим на координатной плоскости точки (−1;0) и (3;0).
3. Через точки (−1;0), (1;−4), (3;0) проводим параболу.
4. Корнями уравнения x2 −2x−3=0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения: x1=−1;x2=3.
3. Через точки (−1;0), (1;−4), (3;0) проводим параболу.
4. Корнями уравнения x2 −2x−3=0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения: x1=−1;x2=3.
Графический способ решения квадратного уравнения
x2 −2x−3=0
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 26Второй способ
Преобразуем уравнение к виду x2 =2x+3.
Построим в одной системе координат
графики функций: y= x2 и y=2x+3.
Они пересекаются в двух точках: C(−1;1) и D(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек C и D, значит, x1=−1;x2=3.
Они пересекаются в двух точках: C(−1;1) и D(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек C и D, значит, x1=−1;x2=3.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 27Решение уравнений графическим способом (видео)
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Требования к размерам файла не предоставляют
возможность загрузить видео
Слайд 28 x2+7x+6=0
x2+3x−54=0
−7x2−3x=0
4x2−5x=0
14x2−1=0
x2−16=0
x2+x=56
x2−4x=5
x2−54=−3x
x2−45=−4x
x2=−x+20
x2=7x+18
x2−20x=−5x−13−x2
x2−6x=5x−12−x2
2x2+x−21=−8x2
4x2−19x+32=−6x2−6x+41
4x2−3x−12=3x2−6x−14
−3x2−x+8=(x−3)2
(x−9)2=−x2+15x+50
x2=7x+18
x2−20x=−5x−13−x2
x2−6x=5x−12−x2
2x2+x−21=−8x2
4x2−19x+32=−6x2−6x+41
4x2−3x−12=3x2−6x−14
−3x2−x+8=(x−3)2
(x−9)2=−x2+15x+50
Задания для самопроверки
Решите уравнение
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 29Ответы
-6; -1
-9; 6
0; -3/7
0; 5/4
-2; 2
-4;
4
-8; 7
-1; 5
-9; 6
-9; 5
-5; 4
-2; 9
1; 6,5
1,5; 4
-1,5; 1,4
-0,5; 1,8
-1; -2
0,25; 1
1; 15,5
-8; 7
-1; 5
-9; 6
-9; 5
-5; 4
-2; 9
1; 6,5
1,5; 4
-1,5; 1,4
-0,5; 1,8
-1; -2
0,25; 1
1; 15,5
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 31Определение и способ решения
Уравнение четвертой степени вида a·x4+b·x2+c=0 называют биквадратным уравнением.
Заменой
y=x2 биквадратное уравнение сводится к квадратному a·y2+b·y+c=0 , которое решается стандартным методом.
Пример:
2·x4+5·x2-3=0; замена y=x2;
2·y2+5·y-3=0;
D=49;
y1=0,5; y2=-3;
Вернемся к замене
x2=0,5: x1=√0,5; x2=-√0,5;
x2=-3: корней нет.
Ответ: x1=√0,5; x2=-√0,5.
Пример:
2·x4+5·x2-3=0; замена y=x2;
2·y2+5·y-3=0;
D=49;
y1=0,5; y2=-3;
Вернемся к замене
x2=0,5: x1=√0,5; x2=-√0,5;
x2=-3: корней нет.
Ответ: x1=√0,5; x2=-√0,5.
Проверка:
x1: 2·(√0,5)4+5·(√0,5)2-3=0,5+2,5-3=0;
x2: 2·(-√0,5)4+5·(-√0,5)2-3=0,5+2,5-3=0;
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 321. х4 – 4х2 + 4 = 0;
2. – 3х4 + 12х2 – 12 =
0;
3. 3х4 + 9х2 – 12 = 0;
4. х4 – 4х2 + 3 = 0;
5. – 4х4 – 4х2 + 24 = 0;
6. – 2х4 – 4х2 + 6 = 0;
3. 3х4 + 9х2 – 12 = 0;
4. х4 – 4х2 + 3 = 0;
5. – 4х4 – 4х2 + 24 = 0;
6. – 2х4 – 4х2 + 6 = 0;
Задания для самопроверки
7. х4 – 3х2 + 2 = 0;
8. 4х4 + 8х2 – 32 = 0;
9. – 5х4 + 30х2 – 25 = 0;
10. х4– 2х2 – 15 = 0;
11. – 4х4 – 8х2 – 4 = 0;
12. – 2х4 – 8х2 + 10 = 0.
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 33Ответы
1. √2, -√2;
2. √2, -√2;
3. 1, -1;
4. 1, -1, √3,- √3;
5.
√2, -√2;
6. 1, -1;
6. 1, -1;
7. 1, -1, √2, -√2;
8. √2, -√2;
9. 1, -1, √5, -√5;
10. √5, -√5;
11. нет корней;
12. 1, -1.
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 34Рациональные уравнения
Определение
Алгоритм решения целых уравнений
2.1 Алгоритм решения целых уравнений методом разложения
на множители
2.2 Пример решения целых уравнений методом введения новой переменной
2.3 Целые уравнения (видео)
3. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
3.1 P(x)/Q(x)=0
3.2 R(x)=S(x)
3.3 Дробно-рациональные уравнения (видео)
4. Задания для самопроверки
2.2 Пример решения целых уравнений методом введения новой переменной
2.3 Целые уравнения (видео)
3. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
3.1 P(x)/Q(x)=0
3.2 R(x)=S(x)
3.3 Дробно-рациональные уравнения (видео)
4. Задания для самопроверки
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВЫХОД
Слайд 36Алгоритм решения целых уравнений
1. Выражение из правой части исходного целого уравнения
перенести в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
2. В левой части уравнения образовавшееся целое выражение преобразовать в многочлен стандартного вида.
3. Решить полученное алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению.
Пример:
3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3;
x2−5·x−6=0;
Д=49;
x1=6; x2=-1.
Ответ: x1=6; x2=-1.
2. В левой части уравнения образовавшееся целое выражение преобразовать в многочлен стандартного вида.
3. Решить полученное алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению.
Пример:
3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3;
x2−5·x−6=0;
Д=49;
x1=6; x2=-1.
Ответ: x1=6; x2=-1.
Проверка:
x1: 3·(6+1)·(6−3)=63, x·(2·x−1)−3=63;
x2: 3·(-1+1)·(-1−3)=0, (-1)·(2·(-1)−1)−3=0;
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 37Алгоритм решения целых уравнений
методом разложения на множители
1. Перенести выражение из
правой части целого уравнения в левую, изменив знаки на противоположные;
2. Выражение в левой части представить в виде произведения нескольких множителей, что позволяет перейти к совокупности нескольких более простых уравнений.
Пример:
(x2−1)·(x2−10·x+13)=2·x·(x2−10·x+13);
(x2−1)·(x2−10·x+13)−2·x·(x2−10·x+13)=0;
(x2−10·x+13)·(x2−2·x−1)=0;
x2−10·x+13=0 или x2−2·x−1=0;
D=48; D=8;
x1=5+2√3; x3=1+√2;
x2=5-2√3. x4=1-√2.
Ответ: x1=5+2√3; x2=5-2√3; x3=1+√2; x4=1-√2.
2. Выражение в левой части представить в виде произведения нескольких множителей, что позволяет перейти к совокупности нескольких более простых уравнений.
Пример:
(x2−1)·(x2−10·x+13)=2·x·(x2−10·x+13);
(x2−1)·(x2−10·x+13)−2·x·(x2−10·x+13)=0;
(x2−10·x+13)·(x2−2·x−1)=0;
x2−10·x+13=0 или x2−2·x−1=0;
D=48; D=8;
x1=5+2√3; x3=1+√2;
x2=5-2√3. x4=1-√2.
Ответ: x1=5+2√3; x2=5-2√3; x3=1+√2; x4=1-√2.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 38Пример решения целых уравнений
методом введения новой переменной
(x2+3·x+1)2+10=−2·(x2+3·x−4);
Замена y=x2+3·x;
(y+1)2+10=−2·(y−4);
y2+4·y+3=0;
По т. Виета: y1=−1и y2=−3
y1:
x2+3·x=−1; D=5, x1=(-3-√5)/2; x2=(-3+√5)/2;
y2: x2+3·x=−3; D=-3, корней нет.
Ответ: x1=(-3-√5)/2; x2=(-3+√5)/2.
y2: x2+3·x=−3; D=-3, корней нет.
Ответ: x1=(-3-√5)/2; x2=(-3+√5)/2.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 39Целые уравнения (видео)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Требования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить
видео
Слайд 40Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений P(x)/Q(x)=0
Рассмотрим алгоритм решения уравнения вида P(x)/Q(x)=0, где P(x) и Q(x) –
целые рациональные выражения
Алгоритм №1
1. Решить целое рациональное уравнение P(x)=0;
2. Проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие Q(x)≠0:
2.1 если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
2.2 если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.
Алгоритм №1
1. Решить целое рациональное уравнение P(x)=0;
2. Проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие Q(x)≠0:
2.1 если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
2.2 если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 41Алгоритм №2 (ОДЗ. Удобен, если корни P(x)=0 иррациональные или рациональные, но с
довольно большим числителем и/или знаменателем)
1. Решить уравнение p(x)=0;
2. Найти ОДЗ переменной x;
3. Взять корни, принадлежащие области допустимых значений
1. Решить уравнение p(x)=0;
2. Найти ОДЗ переменной x;
3. Взять корни, принадлежащие области допустимых значений
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 42Алгоритм №3 (P(х)- число)
- если это число отлично от нуля, то
уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
- если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.
- если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 43Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений R(x)=S(x)
Рассмотрим алгоритм решения уравнения вида R(x)=S(x), где R(x) и S(x) –
целые рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное.
Перенести S(x) в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный: R(x)-S(x)=0;
Преобразовать уравнение к виду P(x)/Q(x)=0;
Решить уравнение P(x)=0
Выявить и исключить посторонние корни посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 44Дробно-рациональные уравнения (видео)
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Требования к размерам файла не предоставляют возможность загрузить
видео
Слайд 45 11/(x−2)=11/2;
10/(x+6)=−5/3;
10/(x−4)=5/2;
7/(x−14)=14/(x−7);
1/(x−5)+1/(x+3)=0;
9/(x−11)+11/(x−9)=2;
8/(x−3)+3/(x−8)=2;
(x−6)/(x−9)=2;
(x−5)/(x−15)=−1;
(x−10)/(x−15)=2;
(x−11)/(x−12)=7/8;
x−12/x=−4;
x+11/x=−12;
(x2−3x−4)/(x+1)=0;
(x2−x−2)/(x−3)=0;
(6x2+6x)/(x−1)=0;
(−x2−6x)/(x+9)=0;
(−x2+2x)/(x+10)=0.
x−12/x=−4;
x+11/x=−12;
(x2−3x−4)/(x+1)=0;
(x2−x−2)/(x−3)=0;
(6x2+6x)/(x−1)=0;
(−x2−6x)/(x+9)=0;
(−x2+2x)/(x+10)=0.
Задания для самопроверки
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДАЛЕЕ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 46Ответы
4;
-12;
8;
21;
1;
10; 20;
5,5; 11;
12;
10;
20;
22;
-6; 2;
-11; -1;
-1; 4;
-1; 2;
0; -1;
0; -6;
0; 2.
22;
-6; 2;
-11; -1;
-1; 4;
-1; 2;
0; -1;
0; -6;
0; 2.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
НАЗАД
ВЫХОД
Слайд 47Математика. 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе.
В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М.: Просведение, 2012. - 96 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-028297-0.
Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771
Математика. Повышенный уровень. Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. - 112 с.-(Готовимся к ЕГЭ) ISBN 978-5-91724-094-7
Выпускнику 2004. Математика. Сборник задач для подкотовки к ЕГЭ. Часть 1. И. В. Бойков, Л. Д. Романова
Рывкин А. А., Рывкин А. З., Хренов Л. С. Справочник по математике: Справочное пособие для учащихся сред. спец. учеб. заведений и поступающих в вузы. - 5-е изд., стереотипное. - М.: Высш. шк., 1987. - 480 с.: ил.
Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771
Математика. Повышенный уровень. Тематические тесты. Уравнения, неравенства, системы / под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. - 112 с.-(Готовимся к ЕГЭ) ISBN 978-5-91724-094-7
Выпускнику 2004. Математика. Сборник задач для подкотовки к ЕГЭ. Часть 1. И. В. Бойков, Л. Д. Романова
Рывкин А. А., Рывкин А. З., Хренов Л. С. Справочник по математике: Справочное пособие для учащихся сред. спец. учеб. заведений и поступающих в вузы. - 5-е изд., стереотипное. - М.: Высш. шк., 1987. - 480 с.: ил.
Литература
