Презентация, доклад по УД Численные методы на тему Интерполирование

И часто осуществляется с помощью выровненного графика этого ряда, а также аналитически. Аналогичная процедура, если искомое значение  лежит вне известного интервала, называется экстраполированием (экстраполяцией)

Интерполяция

Тогда для каждого участка (xi, xi+1) в качестве интерполяционной формулы y = F(x) используется уравнение прямой, проходящей через точки Mi(xi, yi) и Mi+1(xi+1, yi+1), которое имеет вид:




На практике в качестве интерполирующей функции F(x) обычно используется алгебраический многочлен

разностями
Интерполяция сплайнами

Наиболее известные методы интерполирования

узлов интерполирования.  Для n+1 различных значений аргумента и соответствующих значений функции f(x0)=y0, f(x1)=y1,..., f(xn)=yn интерполяционная формула Лагранжа имеет вид



где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [x0,xn].

Формула Лагранжа

следующей таблицей.

X0=0, X1=1, X2=2, X3=5
Y0=2, Y1=3, Y2=12, Y3=147



Для случая четырех узлов интерполяции (n = 3) многочлен Лагранжа представляется следующим образом:

которых повторяется при получении нескольких значений Pn(x) для одной функции f(x). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде

Где лагранжевы коэффициенты, определяемые по формуле Лагранжа

известным из итерационных методов является метод Эйткена, в основе которого лежит многократное применение линейной интерполяции

Интерполирование по схеме Эйткена

и Mi+1(xi+1, yi+1) сводится к вычислению определителя второго порядка




При интерполировании по трем и более точкам последовательно вычисляются многочлены

xi до тех пор, пока последовательные значения P0,1,2,…,n(x) и P1,2,…,n-1(x) не совпадут в пределах заданной точности. Иначе говоря, вычисления прекращаются при выполнении условия

интерполирования. При этом для некоторой функции f(x) таблично задаются значения yi = f(xi), где xi = x0 + ih.

Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов

соответственно первой и второй интерполяционными формулами Ньютона и имеют вид:

1)


2)

Где i - порядок разности, j - ее порядковый номер, а параметры t и q определяются следующим образом:
t = (x - x0) / h
q = (x - xn) / h

Однако, в общем случае функция f(x) может быть задана таблицей, в которой узлы находятся на произвольном расстоянии друг от друга xi-xi+1=h, где значения hi (i=ln) являются различными.

Формула Ньютона с разделенными разностями

данном случае, для решения задачи интерполяции применяются не конечные, а разделенные разности.
Разделенная разность первого порядка определяется:



Для вычисления разделенных разностей высших порядков используется формула:

они расположены по возрастанию значений аргумента: x0

Интерполяция сплайнами

многочлен Эрмита на интервале [xi-1,xi] определяется с помощью значений функции yi-1, yi и ее производных yўi-1, yўi. Так как значения производных в общем случае могут быть неизвестны, обозначим их как yўi-1=Si-1; yўi=Si. При построении сплайна переменные Si называются наклонами сплайна в соответствующих точках xi.

заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Заключение