Презентация, доклад Методические аспекты обучения решению олимпиадных задач на уроках математики и во внеурочное время

уроках математики и во внеурочное время» Выполнила: студентка 6 курса БЕСКРОВНАЯ Елена Ильинична Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент Фрундин В. Н.

и насколько эффективно использовать олимпиадные задачи при изучении математики на уроках;
все дети могут решать олимпиадные задачи или только одаренные;
какова эффективность обучения учащихся решению нестандартных, нетривиальных задач.

математике» и методических рекомендаций по их применению, направленных на повышение эффективности подготовки учащихся к математическим олимпиадам

математики и во внеурочное время.

Предмет исследования: методические рекомендации для обучения учащихся решению олимпиадных задач некоторых типов на уроках математики и внеурочное время.

задача»;
изучить зарождение и развитие российских математических олимпиад и раскрыть их функцию по совершенствованию учебно-воспитательного процесса в школе;
определить теоретические аспекты построения решения олимпиадных задач;
разработать методические рекомендации по некоторым типам олимпиадных задач (принцип Дирихле, задачи на делимость, задачи на игровую стратегию, задачи на раскраску).

математических олимпиад
1.2. Общие подходы к построению решения олимпиадных задач по математике

до н.э.;
2. Математические турниры ( 16 в.);
3. Этвешское соревнование (1896 г.);
4. Олимпиадное движение в России:
а) самая первая олимпиада на территории СССР проводилась 3 ноября 1933 г.;
б) первая ленинградская олимпиада (1934 г.);
в) московские математические олимпиады (1935 г.);
г) от школьных до всесоюзных математических олимпиад (1933 г., 1959г., 1961г.).

по соответствующим темам школьного курса основных идей, встречающихся при решении олимпиадных задач;
осуществление взаимосвязи задач одного типа с типами, которые были рассмотрены ранее;
формулировка задач, решение которых не может быть выполнено учениками;
постановка заданий поиска нескольких методов решения одной задачи;

деятельности школьников по решению задач повышенной сложности;
обучение стратегии поиска решения задачи;
письменное оформление решений задач, т.е. точное изложение сведений с помощью математического языка;
личный пример учителя;
вовлечение в работу со статьями журнала "Квант";
внеурочные занятия (лекции, решение задач);
внеурочные занятия для разбора нестандартного олимпиадного материала;
подготовка школьников (всех желающих) к последующим этапам олимпиады.

контрпримера;
математическая индукция;

рекурсия;
метод итераций;
подсчёт двумя способами;
метод аналогий;
провокационный метод;
вспомогательное построение;
переход в пространство большего числа измерений;
вспомогательная раскраска.

- анализ задачи;
2-й этап - схематическая запись задачи;
3-й этап - поиск способа решения задачи;
4-й этап - осуществление решения задачи;
5-й этап - проверка решения задачи;
6-й этап - исследование задачи;
7-й этап - формулирование ответа задачи;
8-й этап - анализ решения задачи.

установить, к какому виду задач она принадлежит.
2. Если узнали в ней стандартную задачу знакомого вида, то необходимо применить для ее решения известное общее правило.
3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в следующих направлениях:
а) вычленять из задачи или разбивать ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);
б) ввести в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных элементов);
в) переформулировать ее, заменить ее другой равносильной задачей (способ моделирования).
4. Для того чтобы легче было осуществлять указанные способы, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи - ее схематическую запись.
5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.

и во внеурочное время

2.1. Принцип Дирихле
2.2. Задачи на делимость
2.3. Задачи на раскраску
2.4. Задачи на игровую стратегию

зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца».
Принцип Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений.

ФОРМУЛИРОВКА 2. «При любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, в множество Q, содержащее n элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие один и тот же образ».

2; 3; ...; 49}. Докажите, что существует четыре вершины А, В, С, D данного стоугольника, которые образуют параллелограмм ABCD, такие, что а +b=c + d, где а, b, с, d — числа, стоящие соответственно в вершинах А, В, С и D.

РЕШЕНИЕ: Всего имеется пятьдесят диагоналей правильного стоугольника, которые являются диаметрами окружности, около него описанной. Если PQ - такая диагональ и в вершинах Р и Q стоят соответственно числа р и q, то 0≤|р- q |≤48,
то есть | р- q | = 0, 1, 2, ..., 48. Поэтому по принципу Дирихле найдутся две диагонали PQ и RS такие, что | р - q | = | r - s |. Кроме того, ясно, что PQRS — прямоугольник (рис. 1). Переобозначив теперь долж­ным образом вершины прямоу­гольника PQRS (без ограничения общности можно считать, напри­мер, что p ≤ q и r ≤ s), получим нужное утверждение задачи.

с, то а делится на c:
(a:b и b:c)→(a:c).
2) Если а делится на m, то и ab делится на m (b- любое целое число) :
(a: m) →( ab: m).
3) Если а делится на m и b делится на m, то и a+b делится на m:
(a: m и b: m)→((a+b): m).
4) Если а+b делится на m и а делится на m, то и b делится на m:
((a+b): m и a: m) →( b: m).
5) Если а делится на m и а делится на k,причем m и k взаимно просты, то а делится на произведение mk:
(a: m и a : k и (m, k)=1)→( a: mk ).
6) Если аb делится на m и а взаимно просто с m, то b делится на m:
(ab : m и (a, m)=1) →( b: m).

нуль и к полученному трехзначному числу прибавить удвоенную цифру его сотен, то получится число, в 9 раз большее первоначального. Найти исходное двузначное число.

РЕШЕНИЕ:
1)Число 10а+b делится на 3, значит, а+b делится на 3. Число 100а + b имеет ту же сумму цифр, поэтому тоже делится на 3.
2) Новое число 100а+b+2а=102а+b по условию делится на 9, значит, и на 3, но 102 делится на 3, поэтому b делится на 3, а так как а + b делится на 3, то а делится на 3. По условию 102а + b = 9(10а + b) или 3а = 2b, откуда, а де­лится на 2, но а делится и на 3, следовательно, а делится на 6; так как а однозначно и не нуль, то а=6, откуда 2b=18 и b = 9.

окрашена в один из шести цветов. Докажите, что всегда найдутся четыре клетки одного цвета, центры которых являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными прямым линиям на бумаге.

РЕШЕНИЕ:
Возьмем горизонтальную полосу шириной 7 клеток. Так как число вертикальных столбиков в ней бесконечно, а число способов их раскраски конечно, то найдутся два одина­ково окрашенных вертикальных столбика.
Рассмотрим один из них. Поскольку в нем 7 клеток и они окрашены не более чем в 6 различных цветов, то по принципу Дирихле в этом столбике найдутся две одинаково окра­шенные клетки. Тогда в другом из двух вер­тикальных столбиков, о которых говорилось выше, две соответствующие клетки, т. е. на­ходящиеся на тех же горизонталях, окрашены в тот же цвет.

другим два ряда по 10 чисел так, чтобы выполнялось следующее правило: если число b записано под числом a, а число d под числом c , то a+d = b+c. Второй игрок, зная это правило, хочет определить все написанные числа. Ему разрешается задавать первому вопросы типа: « Какое число стоит в первой строке на третьем месте?», или « Какое число стоит во второй строке на девятом месте?» и т.п. За какое наименьшее число таких вопросов второй игрок сможет узнать все числа?

РЕШЕНИЕ:
Перебрав всевозможные варианты ответа и найдя правильный, можно перейти к доказательству условий необходимости и достаточности.
Достаточность. Задав 11 вопросов, можем узнать все числа первой строки и одно число второй строки. Обозначим их через a1 , a2, . . . , a10, bk Тогда число bi, стоящее под ai , найдем из равенства bi = ai+ bk - ak.

узнали по одному числу. Тогда из четырех любых чисел a, d , b, c (b стоит под a, d−под c) известны лишь 2 числа, поэтому уравнение a+d = b+c содержит 2 неизвестных, значит, имеет бесконечно много решений.
В одном из столбцов мы знаем оба числа a и b. Тогда в остальных 9 столбцах мы знаем лишь 8 чисел, значит, в одном из столбцов неизвестны оба числа, для которых поэтому возможны бесконечно много значений.
Теперь мы показали, что и в 1) и 2) случае 10 вопросов не хватает для однозначного решения. Следовательно, наименьшее число вопросов равно 11.

зарождение и развитие российских математических олимпиад;
изучили различные трактовки понятия «олимпиадная задача»;
определили теоретические аспекты построения решения олимпиадных задач.
разработали методические рекомендации по решению следующих олимпиадных задач: принцип Дирихле, задачи на делимость, задачи на игровую стратегию, задачи на раскраску.