Презентация, доклад на тему Урок Способы решений систем линейных уравнений

Тульской области
«Щекинский политехнический колледж»»

Преподаватель математики: Нейбергер Н.Т.

Щекино, 2017

применимы для решения задач с практическим содержанием

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущества разума, его торжество над покоренной природой» -
академик И. И. Артоболевский

Цели темы:

навыков, знакомство с возможностями применения информационных технологий

который напишет книгу: “Как человек без математики жил?”.
Премия осталась невыданной. Ни один автор не сумел изобразить жизнь человека без математических знаний.

Самые ранние сведения о возникновении алгебры в виде правил решения уравнений мы встречаем у вавилонян в III–II вв. до н. э. В вавилонской математике появляется числовая алгебра в виде решения уравнений и систем уравнений первой и второй степени.

Диофант.
О Диофанте неизвестно ничего, кроме предания о надписи на его могильном камне. До нас лишь дошел его метод решения неопределенных уравнений, называемых “диофантовыми”. Это уравнения или системы уравнений, в которых число неизвестных больше числа уравнений.

Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми, около 820 года нашего летоисчисления написал книгу, в названии которой он учит решать простые и сложные вопросы арифметики. Для того чтобы разъяснить темные места в науке и сделать понятными трудные вопросы, аль-Хорезми написал краткое сочинение о методах решения уравнений.

Основным вопросом в учебнике «Уникальная арифметика» Леонардо Эйлера является решение уравнений. Алгебра - это искусство нахождения числовых значений для содержащихся в уравнении неизвестных по коэффициентам уравнения.

забываю,
я вижу – запоминаю,
я делаю – я усваиваю»

русским математиком Н.И.Лобачевским, термин “функция” введен Лейбницем. Символическая запись в виде формулы впервые введена Л. Эйлером

создателей линейной алгебры

31 июля 1704,
Женева, Швейцария –
4 января 1752,
(Баньоль-сюр-Сез, Франция)

Крамер родился в семье франкоязычного врача.
В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета.
1727: Крамер 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера, Галлея и де Муавра, Мопертюи и Клеро.
В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей.
1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и
4 января 1752 года Крамер умирает.

+

 

-1
4

-2
-5

 

2
3

-2
-5

 

2
3

-1
4

=

= 5 +

8 -

(-10

+ 6)

+ 8

+ 3 =

28

 

-2
6

-2
-5

 

-1
4

-2
6

=

= 4 (5 +

8) -1

(10 +

12) +

(-8 +

6) =

28

+ - +

Решение систем уравнений с тремя неизвестными

с тремя неизвестными

= 1

4
-2
6

= 56

 

2

y = 2

= 1

4
-2
6

= 28

 

1

y = 2

1
-1
4

z = 1

1

 

Проверка

 

2 вариант
Решить систему уоавнений методом Крамера

 
3x – 2y + z = -3
5x + y – 2z = 11
x + y + z = 1
 

 
x + 2y - z = 2
2x - 3y + 2z = 2
3x + y + z = 8
 

концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом - три неизвестных, во втором - два, в третьем - одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Этот метод широко применяется в практике вычислений при решении уравнений с большим количеством неизвестных

Карл Фридрих Гаусс

1777—1798 годы

немецкийнемецкий математикнемецкий математик, механикнемецкий математик, механик, физикнемецкий математик, механик, физик, астрономнемецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист
Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём» математиков

Проектная деятельность

уравнений.

Для этого умножим правую и левую части первого уравнения на 2, а правую и левую части второго уравнения на 3 и сложим почленно полученные уравнения. Потом умножим правую и левую части третьего уравнения на 3 и сложим полученное уравнение с первым исходным уравнением.

6x + 2y –2z = -2
-6x + 9y - 6z = -6
-3x + 15y – 9z = -9

- 8z = - 8 ⋅16
16y – 10z = - 10 ⋅11

3x + y - z = - 1
11y - 8z = - 8
- 8z = - 18

Теперь с помощью второго уравнения исключим y из третьего уравнения.

Для этого умножим правую и левую части второго уравнения на 16,а правую и левую части третьего уравнения на 11 и сложим почленно полученные уравнения.

Получим систему уравнений «треугольного» вида, решение которой ( 0; 0; 1) нетрудно найти, решая уравнения в обратном порядке.

- 8z = - 8
z = 1

11y - 8z = - 8
11y = - 8 + 8 ·1
11y = 0
y = 0

3x + y - z = - 1
3x + 0 – 1 = -1
3x = 0
x = 0

Получим систему уравнений:

- 3y - 4z = -10
y – 8z = -6 ·3

x + y + z = 4
y – 8z = -6
- 28z = -28

x = 1
y = 2
z = 1

ростом числа переменных в системе, её решение усложняется и становиться почти невозможным для вычислений «вручную». В таких случаях все вычисления производят с помощью современных вычислительных средств и компьютерных программ.

Одним из таких средств является Microsoft Excel. В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для работы с матрицами: МОБР( параметр)- обращение матрицы; МОПР (параметр) - вычисление определителя; МУМНОЖ( список параметров) - умножение матриц.

уроках информатики и ИКТ

условного оператора

особую важность в связи с задачами математической экономики. Обычно такие задачи сводятся к линейным системам с огромным числом неизвестных.

Использование систем линейных уравнений
Задачи на применение составления систем уравнений

Задача. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.
Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:
                                          x1 +   x2 +   x3 +  x4 = 94,
                                        2x1 +   x2 + 7x3 + 4x4 = 574,
                                        6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328.
Решаем ее методом Гаусса:

- x4,
                                             - x2 + 5x3 = 386 - 2x4,
                                                     26x3 = 2080- 9x4.
Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = - 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

и применить наиболее простой в применении. Большое упрощение вычислений дает применение информационных технологий.

Задача. В двух пунктах отправления А и В находится соответственно 150 и 90 тонн горючего. В пунктах 1, 2, 3 требуется доставить n тонн горючего. Стоимости перевозки тонны горючего из пункта А в пункты 1,2,3 составляют соответственно 6, 10 и 4 тыс.руб., а из пункта В – 12, 2 и 8 тыс.руб.
Составить оптимальный план перевозок горючего так, чтобы получить прибыль по перевозке горючего: например, в пункте А – 1500 тыс.руб; в пункте В – 1740 тыс.руб.

Построение математической модели задачи заключает в себя:
Задание целевой функции (её надо максимизировать или минимизировать);
Задание системы ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;
Требование неотрицательных переменных.

Задача линейного программирования

Домашнее задание

имеют следующий вид:
Ограничение по объему горючего: x + y + z = 240
Ограничение по прибыли пункта А: 6x +10y +4z =1500
Ограничение по прибыли пункта В: 12x + 2y +8z =1740
Кроме того, ясно, что x>=0, y>=0, z>=0.
Для прибыли имеем формулу: П = 18x + 12y + 12 z - целевая функция.

систем линейных уравнений. При оценке методов решения задач значение имеют такие свойства, как универсальность и простота применения для вычислений.

Математика является универсальным языком для многих наук, математические методы широко используются в различных сферах деятельности и является неотъемлемой составной частью деятельности современного специалиста.

На уроке обучающиеся проследили развитие алгебры на протяжении 2,5 тысяч лет, разобрали банк задач, решенных разными методами, исследовали методы решения систем уравнений, сделали ВЫВОД:

Например, графический метод решения более удобен для системы из двух линейных уравнений (наглядно и быстро), а метод Гаусса для этой цели менее пригоден. Он проигрывает с точки зрения наглядности. Однако, именно метод Гаусса и метод Крамера являются наиболее универсальными для решения систем уравнений.

данную тему, т.к. способы решения систем линейных уравнений собраны в единое пособие

Система уравнений -
непредсказуемые, интересные, увлекательные
изменяются, преобразовываются, удивляют
ГАРМОНИЯ

Математика – это язык, на котором написана книга природы.
Г. Галилей

невозможно. Его выводы будут
безошибочны, как теоремы Евклида»
Артур Конан Дойл

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей дальнейшей учебе и работе.

Спасибо за урок!

Питер, 2003.
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач.и сред.проф.образования/ М.И.Башмаков. – 6-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.
Колмагоров А.Н. Энциклопедия Математики/ А. Н. Колмогоров - М. Большая Российская энциклопедия,  1998, 846 стр.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — М.: Просвещение, 1990;
http://archive.1september.ru/mat/2003/29/no29_1.htm;
http://www.gasu.ru;
http://wwwwww.5-www.5-kawww.5-ka.www.5-ka.ru