Презентация, доклад на тему Соответствия между множествами

трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19—20 вв.

Создатель теории множеств

множеств) и теорию трансфинитных чисел. В 1874 он доказал несчётность множества всех действительных чисел, установив т. о. существование неэквивалентных (т. е. имеющих разные мощности) бесконечных множеств, сформулировал (1878) общее понятие мощности множества.

– есть многое, мыслимое нами как единое».
Другими словами, множество – это совокупность предметов, сама рассматриваемая как один предмет.
Например: множество натуральных чисел N, множество действительных чисел R.

Понятие множества

и В не имеют общих элементов, т.е. из того, что х ϵ А следует, что х ϵ В, а из того, что у ϵ В следует, что
у ϵ А.

Соответствия между множествами

А

В

элементы х, для которых верно то, что х ϵ А и х ϵ В.
При этом возможны следующие четыре случая отношений между ними.

элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае говорят, множества А и В находятся в отношении пересечения.
Например: А - множество натуральных делителей числа 72, а В - множество натуральных делителей числа 56.

1. Пересечение множеств

содержать элементы, не принадлежащие множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении включения.
Например: А – множество чисел, кратных 4, а множество В – чисел кратных 2.

2. Включение

элемент множества А является элементом множества В.
Обозначают включение символом А В и читают «А включается в В» или «А – подмножество В»

или всякое множество является подмножеством самого себя.

Свойства отношения включения:

А

следует, что А С.

2. Транзитивность

С

В

А

Поскольку Ø не имеет элементов, то естественно считать его подмножеством любого множества.
Само множество А и пустое множество Ø называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными

3. Включение Ø А

может содержать элементы, не принадлежащие множеству В. В этом случае множество В включается в множество А.

3. Включение В в А

В принадлежат множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В равны.
Два множества А и В называются равными если они состоят из одних и тех же элементов.

4. Равные множества

себе.
2. Симметричность: если А = В, то и
В = А.
3. Транзитивность: если А = В и В = С, то А = С.

Свойства отношения равенства

называется универсальным.
Например, множество действительных чисел R.
Универсальное множество обозначается буквой U, а на диаграммах Эйлера-Венна изображается в виде прямоугольника.

Универсальное множество

U

и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Обозначают объединение множеств А и В символом
А U В.
Согласно определению объединения х ϵ А U В тогда и только тогда, когда х ϵ А или х ϵ В. Соответственно,
х ϵ А U В тогда и только тогда, когда х ϵ А и х ϵ В.

Операции над множествами

и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.

Пересечение множеств А и В обозначают символом
А В.
Как следует из определения пересечения множеств,
х ϵ А В тогда и только тогда, когда х ϵ А и х ϵ В.
Соответственно, х ϵ А В тогда и только тогда, когда
х ϵ А или х ϵ В.

U

U

U

А В = В А – коммутативность пересечения;
3. А U (B U C) = (A U B) U C – ассоциативность объединения;
4. A (B C) = (A B) C – ассоциативность пересечения;
5. A (BUC) = (A B)U(A C) – дистрибутивность пересечения относительно объединения;
6. AU(B C) = (AUB) (AUC) – дистрибутивность объединения относительно пересечения.

Свойства объединения и пересечения множеств

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

A
3. A U Ø = A
4. A Ø = Ø
5. A U U = U
6. A U = U

Законы поглощения

U

U

U

только тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают символом А\В.
Согласно определению разности х ϵ А\В тогда и только тогда, когда х ϵ А и х ϵ В. Соответственно, х ϵ А\В тогда и только тогда, когда х ϵ А или х ϵ В.
Операция, при помощи которой находится разность множеств, называется вычитанием.
Если В А, то разность А\В называется дополнением множества В до А. обозначают дополнение символом ВА.
Если множество В является подмножеством универсального множества U, то дополнение В до U обозначают В.

Разность двух множеств. Дополнение

A;
4. A = A;
5. A ∩ A = Ø;
6. A U A = U;
7. A U B = A ∩ B;
8. A ∩ B = A U B;
9. A \ B (B ∩ C) = (A \ B) U (A \ C);
10. A \ (B U C) = (A \ B) ∩ (A \ C).

Свойства разности и дополнения

виде объединения непустых попарно пересекающихся своих множеств.
Таким образом, разбиение множества М на классы К1, К2,…,Кn определяется следующими тремя условиями:
1) Ki ≠ Ø (i= 1, 2,…n);
2) Ki ∩ Kj = Ø (i, j, = 1, 2,…n; i ≠ j);
3) U Ki = M.

Разбиение множеств на классы. Классификация

i ≠ 1

n

из всех упорядоченных пар вида (a, b), где а ϵ А и b ϵ B.
Декартово произведение множеств А и В обозначают символом А В.
Операция, с помощью которой находится декартово произведение множеств, называется декартовым умножением.

Декартово произведение множеств

А;
2. Если ни одно из множеств А, В и С не являются пустыми, то А (В С) ≠ (А В) С;
3. А (В U С) = (А В)U(А С);
4. (А U В) С = (А С) U (В С);
5. А (В∩С) = (А В) ∩ (А С);
6. (А ∩ В) С = (А С) ∩ (В С);
7. А (В \ С) = (А В) \ (А С);
8. (А \ В) С = (А С) \ (В С);

Свойства декартова произведения