Презентация, доклад на тему Проект Олимпиадные задачи по математике

Кольцова М.Н.

Олимпиадные задачи
по математике

МКОУ «СОШ п. Чернореченский» Искитимского района

2018 г.

к принятию участия в них; способствует развитию компетентной личности, владеющей настойчивостью, инициативой, самостоятельностью.

Гипотеза

методы решения олимпиадных задач
провести исследование среди учащихся нашей школы
воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон

по результатам олимпиад, повысить уровень математической грамотности, даёт шанс стать победителем!

Актуальность

требуется неожиданный и оригинальный подход.

Олимпиадные задачи в математике

Первая олимпиада состоялась 776 г. до н. э. Олимпиады проводились в Олимпии один раз в четыре года вплоть до 394 г. н. э., когда были запрещены в связи с распространением христианства. Вновь олимпиады возродились в 1896 г.

к состязаниям в решении задач как на Руси, так и во многих других странах мира. Математические соревнования по решению задач также называются олимпиадами, хотя они проводятся в настоящее время с периодом не в четыре года, а, как правило, ежегодно.

в Венгрии и Румынии—с 1894 г., а в других странах значительно позже (в Беларуси – с 1950 г).
Развивающий потенциал олимпиадных задач неисчерпаем.

логических задач на олимпиадах, на самом деле, не нужны особые знания. Тем не менее полезно знакомство со следующими темами:

Логика

камни из этой кучки: минимум X и максимум Y камней. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. При каком наименьшем n > Z у второго игрока есть выигрышная стратегия?

Разбираем камни с кучки

том, что
Если число камней на куче кратно х+у, то первый взял сколько то, но второй берет так, чтобы на куче осталось число, кратное х+у
Работает идея симметрии дополнения до х+у
Например, если у нас в задаче
Х=7, У=19, Z=124, то например первый взял 7, то второй должен взять так, чтобы оставшееся число делилось на сумму 7 и 19, т.е. 26, находим, что такое минимальное число это 130.
Ответ :130

вы- писанных N букв А и Б встречаются поровну раз, а среди любых M букв подряд — не поровну. Какое наибольшее число букв может располагаться в этом ряду?

АБсчитались

если делать сдвиги, то будет поровну букв А и Б. Среди N+2 букв уже не поровну букв, потому что будет 50 букв Б, но 52 буквы А. Почему нельзя реализовать большее количество букв?
Посмотрим на первые 2 буквы и на последующие 100 буквы, мы с Вами знаем, что среди первых 100 число букв поровну, а среди 102 их не поровну, это что означает? Что первые 2 буквы одинаковые, это либо АА, либо ББ.


Давайте поймем, что больше 150 быть не может. Допустим противное, что их чуть-чуть больше 150.

1,2 одинаковы, а 2 и 3-я одинаковы
Давайте посмотрим, что происходит, где 150 букв. Мы можем двигать до момента, когда , но если у нас

букв больше, чем 150, то у нас есть еще хотя бы она буква, то


, т.е. букв 51, значит, среди 100 первых хотя бы 49 букв Б или меньше, противоречие. Значит, букв 150.

во втором две, в третьем три и так далее. Время от времени является мистер Фокс и съедает одно и то же число ягод из нескольких лукошек (разумеется, в каждом ягод должно быть не меньше числа, которое выбрал мистер Фокс). За какое наименьшее число визитов мистер Фокс съест всю малину?

Голодный, но принципиальный

противоречие, то исходное утверждение верно».
Пример 1. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
Решение. Предположим противное, пусть p1, p2, . . . ,pn - все простые числа. Рассмотрим число N = p1p2 ...pn+1. Оно не делится ни на одно из чисел p1, p2, . . . , pn, иными словами, ни на одно простое число. Получаем противоречие с тем, что любое число имеет хотя бы один простой делитель.

Доказательство от противного

из них нашли грибов поровну.
Решение. Допустим, что мальчики нашли разное количество грибов. Расставим их по возрастанию числа найденных грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй – не меньше одного, третий - не меньше двух, четвёртый не меньше трёх, пятый - не меньше четырёх. Всего – не меньше десяти. Противоречие.

каждому ребру примыкает тупой угол одной из граней.
Решение. Допустим, что такая пирамида существует. Поскольку в треугольнике против тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся более длинное ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды конечно. Противоречие.

противное. Пусть log2 3 = p/q, где p, q - натуральные числа. Тогда 2p/q= 3 или 2p = 3q. Последнее равенство невозможно, ибо чётное число не равно нечётному. Противоречие.

чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо сконструировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета. Чётность в играх - это возможность сохранить чётность некоторой величины при своем ходе.

Четность

прыжка 1 м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.

ровно один раз? Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.

за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно. Решение. Назовём марсиан с чётным числом рук чётными, а с нечётным - нечётными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук чётно. Общее число рук у чётных марсиан чётно, поэтому общее число рук у нечётных марсиан тоже чётно. Следовательно, число нечётных марсиан чётно.

решать. Помните последние задачи обычно более сложные.
Если для вас задача решалась слишком легко, то, скорее всего вы не поняли условие или где-то ошиблись.
Если задача не решается – попробуйте упростить ее условие (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д) или порешать ее «с конца», «от противного», поставить вместо чисел переменные и т.д.
Не зацикливайтесь на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить, хотя бы на время.
Почувствовав усталость – отдохните (посмотрите в окно, закройте глаза, отвлекитесь).
Решив задачу, сразу оформите ее решение. Это поможет проверить рассуждения и освободить мысли для других задач.
Перед сдачей работы, проверьте еще раз написанное – поймут ли ваши решения задач члены жури?

Памятка участнику олимпиады