Криволинейный интеграл по длине дуги и его свойства.
КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад на тему Презинтация по математику на тему Криволинейный интеграл (студентов ВУЗа)
Содержание
- 1. Презинтация по математику на тему Криволинейный интеграл (студентов ВУЗа)
- 2. Криволинейный интеграл первого рода
- 3. План:Определение криволинейного интеграла.Теорема о условие существования криволинейного
- 4. Вопросы:Что такое криволинейный интеграл по длине дуги?Какие
- 5. Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.1), на
- 6. Определение 3.1 Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если
- 7. Например: 1) при длина дуги АВ; 2) если функцию f
- 8. Теорема (условие существования кр.интеграла 1 рода). Если
- 9. Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине
- 10. 5) Если в точках кривой АВ ,
- 11. 8) Теорема о среднем.Если функция f(x, y,
- 12. Длина всей кривой АВ равна:Криволинейный интеграл по
- 13. Пример. Вычислить интеграл
- 14. Вычисление криволинейного интеграла .Вычисление криволинейного интеграла
- 15. Слайд 15
- 16. Слайд 16
- 17. Слайд 17
- 18. Слайд 18
- 19. Криволинейный интеграл 1 рода имеет разнообразные приложения в математике , рассмотрим следующие:
- 20. Слайд 20
- 21. Слайд 21
- 22. Слайд 22
- 23. Слайд 23
- 24. Примеры:Пример 1 Найти интеграл
- 25. Пример 2 Вычислить интеграл
- 26. в плоскости Oxy, получаем ПРИМЕР 3 Найти
- 27. Диапазон изменений t для первого квадранта равен
- 28. Сделаем замену. Положим .
- 29. Если u = 0, то
- 30. Список использованной литературы.1). Баврин И.И. Высшая математика.
Криволинейный интеграл первого рода
Слайд 1презентация
На тему:
Слайд 3План:
Определение криволинейного интеграла.
Теорема о условие существования криволинейного интеграла 1 рода.
Свойства криволинейного
интеграла.
Вычисление криволинейного интеграла.
Некоторые приложения криволинейного интеграла в математике.
Примеры.
Список использованной литературы.
Вычисление криволинейного интеграла.
Некоторые приложения криволинейного интеграла в математике.
Примеры.
Список использованной литературы.
Слайд 4Вопросы:
Что такое криволинейный интеграл по длине дуги?
Какие есть свойства криволинейного интеграла
по длине дуги?
Как вычислять криволинейный интеграл 1 рода?
Решение примеров криволинейного интеграла.
Как вычислять криволинейный интеграл 1 рода?
Решение примеров криволинейного интеграла.
Слайд 5
Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.1), на которой определена и непрерывна
скалярная функция
f (x, y, z).
Выполним следующие действия:
1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг. Понятно, что при λn → 0 автоматически n→ ∞ ; 2) выберем произвольным образом точки
f (x, y, z).
Выполним следующие действия:
1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг. Понятно, что при λn → 0 автоматически n→ ∞ ; 2) выберем произвольным образом точки
3)составим интегральную сумму вида
здесь под ΔSi понимаем длины частичных дуг.
Слайд 6Определение 3.1 Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если он существует и не
зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги ΔSi(i=1,...,n) и от способа выбора точек Ni(xi,yi,zi) ΔSi(i=1,...,n) называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f (x, y, z). по дуге АВ и обозначается
Имеются самые различные истолкования криволинейного интеграла по длине дуги, как геометрические, так и физические.
Имеются самые различные истолкования криволинейного интеграла по длине дуги, как геометрические, так и физические.
Слайд 7Например: 1) при
длина дуги АВ; 2) если функцию f (x, y, z) интерпретировать как
плотность распределения вещества вдоль дуги АВ, то
- масса дуги АВ.
Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е.
- масса дуги АВ.
Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е.
Слайд 8Теорема (условие существования кр.интеграла 1 рода). Если функция f(x; у) непрерывна
в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (х; у) Е L существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.
Слайд 9Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги .
1) Значение
криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.
3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.
4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то
2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.
3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.
4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то
Слайд 105) Если в точках кривой АВ , то
6) Справедливо неравенство:
S — длина дуги кривой, l — наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.
Слайд 118) Теорема о среднем.
Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой
АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t),
a £ t £ b, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = a, а точке В соответствует t = b. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.
Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле
Слайд 12Длина всей кривой АВ равна:
Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет
находиться по формуле:
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.
Слайд 13Пример. Вычислить интеграл
по одному витку винтовой линии
Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением то получаем:
Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением то получаем:
Слайд 14 Вычисление криволинейного интеграла .
Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть
сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла 1 рода в случаях , если кривая L задана параметрическим, полярным, и явным образом.
Слайд 19Криволинейный интеграл 1 рода имеет разнообразные приложения в математике , рассмотрим
следующие:
Слайд 24Примеры:
Пример 1 Найти интеграл
вдоль отрезка прямой y = x от начал
а координат до точки (2,2) (рисунок 3).
а координат до точки (2,2) (рисунок 3).
Решение.
Слайд 25Пример 2 Вычислить интеграл
, где C − дуга окружности .
Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой:
Тогда, применяя формулу
Слайд 26в плоскости Oxy, получаем
ПРИМЕР 3
Найти криволинейный интеграл
, где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок ).
Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме.
Слайд 27Диапазон изменений t для первого квадранта равен
. Следовательно, по формуле
заданный интеграл преобразуется следующим образом
Слайд 28Сделаем замену. Положим .
Тогда
Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным
Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной.
Слайд 30Список использованной литературы.
1). Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов.
Москва: Просвещение, 1993.
2). Д.Т.Письменный.Коспект лекций по высшей математике.Москва 4 издание.2006.
3). Маркович Э.С. Курс высшей математики. Москва: Высшая школа, 1992.
4)Интернет.
2). Д.Т.Письменный.Коспект лекций по высшей математике.Москва 4 издание.2006.
3). Маркович Э.С. Курс высшей математики. Москва: Высшая школа, 1992.
4)Интернет.
