Презентация, доклад темы Решение задач с параметрами в итоговом повторении курса алгебры.

алгебры.»

Разработано учителем математики гимназии №22 Захарьян А. А.

30-42

обязательно встречаются задачи с параметрами. Однако эта тема не входит в программу школьного курса за исключением классов с углублённым изучением математики. Существует мнение, что решение задачи с параметрами не выходит за пределы программы школьного курса математики. Имеется в виду, что если ученик или абитуриент владеет школьной программой, то он может самостоятельно, без специальной подготовки справится с задачей с параметрами. На самом деле решить задачу с параметрами может учащийся, который прошел специальную целенаправленную подготовку. Поэтому в школьной математике этим задачам должно уделяться внимание.
В классах с углублённым изучением математики параметрам уделяется достаточно внимания, начиная с решения линейных уравнений. При изучении каждой темы «углублёнки» можно найти время для решения задач с параметрами. Чего нельзя сказать об общеобразовательных классах и классах с гуманитарным уклоном. Поэтому я предлагаю учителям, работающим в неспециализированных выпускных классах перед итоговым повторением уделить несколько часов решению задач с параметрами

параметр – это число, хоть и неизвестное, но фиксированное, имеющее двойственную природу. После этих вступительных слов можно спросить у школьников встречались ли они с параметрами. Это линейная функция y=kx+b, где x и y – переменные, k и b – параметры; квадратное уравнение ax2+bx+c=0, где x - переменная a, b, c, - параметры.
Задачи надо начинать решать с очень простых, постепенно усложняя их.

–а>0, 5a<0, значит –а>5a
2) если а=0, то –а=0, 5а=0, значит –а=5а
3) если а>0, то –а<0, 5a>0, значит –а<5a.
Ответ: если a<0, то –а>5a
если а=0, то–а=5а
если а>0, то–а<5a.

a

a<0

a=0

a>0

2) если а≠0, то х=
Ответ: если а=0, то решений нет
если а≠0, то х=

a

a=0

a=0

нет
2) если а=-3, то 0х=0, х
3) если а≠±3, то а2-9≠0,


Ответ: если а=3, то решений нет
если а=-3, то x
если а≠±3, то

a

a=3

a=-3

a=3

a=-3

3) если а=0, то - «И»

Ответ: если а>0, то х<
если а<0, то
если а=0, то

a

a=0

a>0

a<0

если а≠-3, то х=а.

а≠-1,то х=1 или


Ответ: если а=-1, то х=1
если а≠-1,то х=1 или

если b=-4, то x=-4
если b>-4, то x=b.

то x значит х=1 или х=-1

Ответ: если а≠0, то х=1
если а=0, то х=±1

б) если b=-1, то
2) если b≠±1, то неравенство квадратное

если b=-1, то

если то

то




если то


Рассмотренные выше задачи требовалось просто решить. В следующих задачах будет поставлено какое-то более «узкое», конкретное условие.

а=0, то х=3
2) если а≠0, то уравнение квадратное и оно имеет единственное решение при D=0
D=1-12a



Ответ: при а=0 или а=

то решений нет
2) если а≠2, то уравнение имеет единственное решение при D=0




Ответ: при а=5

каких а уравнение имеет решения, найти их


при


2) Решить уравнение:
a)

(при а=1 или а=3 решений нет; при а≠1 и а≠3 х=а)

При каких а уравнение имеет ровно три корня


(при )

предлагает решить более общую задачу.

имеет:

1) два различных корня;
2) не более одного корня;
3) два корня различных знаков;
4) два положительных корня.

оно квадратное и D>0.




2) а) если а=4, то
б)

только тогда, когда значит



4) уравнение имеет два положительных корня тогда и только тогда, когда

0, то х=1 или х=2а
Ответ: 1; 2а.
2. При каких b уравнение имеет единственный корень? Для каждого b найти этот корень.

Решение:
Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда D=0

x=-2
при b=-12 x=2.

рассмотрев функцию f(x)= ,
непрерывную на R, имеющую нули 2, -2, b
Рассмотрим три случая:
1)

b

-2

2

-2если то

-2

b

2

-2

2

b

x=-2
при b=-20 x=2.

3.
Ответ: если то
если -1 если то

параметрами.

имеет хотя бы один корень.

Решение:





Рассмотрим функцию f(a)= определённую на [-1;0)U(0;1] и найдём её область значений.
f(-1)=11; f(1)=3; при
f ’(a)=

то экстремумов у функции нет, следовательно E(f)=(0;11].
Чтобы уравнение а значит и данное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы

Ответ:

ровно одно двузначное натуральное число.

Решение:

D(y):

Решим первое неравенство системы:

достаточно, чтобы

Ответ:

множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2,но не содержит никакого отрезка длиной 3

Решение:

непрерывную на R\{0}, имеющую нули 4, а:
1) если

- решение содержит отрезок длиной 3, что не удовлетворяет условию задачи.
2) если 0

Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

a

0

4

4

a

0

Ответ:

0

4

a

хотя бы один корень, и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения

Решение:

1)

Пусть =t, тогда

t=0.
E(f)=(- ;0]
f’(t)= f’(t)<0
Значит графики функций и y=p могут иметь только одну общую точку, т.е. уравнение
а значит и уравнение
может иметь ровно один корень при

( ), то -удовлетворяет условию.
б) если то уравнение имеет единственный корень при D=0.


D=0

Итак, уравнение имеет ровно

один корень при

удовлетворяют только

т.е. при и p=-1 уравнения и
имеют равное число корней, а именно, по одному.
Ответ: ; -1