Презентация, доклад по математике: Применение производной к исследованию функции

связано со многими понятиями в математике, физике. Рассмотрим, как при помощи производной можно устанавливать возрастание или убывание функции на различных промежутках области ее определения, находить точки максимума или минимума функции, а также определять наибольшее или наименьшее значение функции на конкретном промежутке.

функция возрастает на этом интервале.

Признак убывания: Если f′(х) < 0 в каждой точке интервала, то функция убывает на этом интервале.

Одна из основных задач исследования функции- это нахождение промежутков её возрастания и убывания.

Найдем производную f '(x) = 3x2–10х–32 2) Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: 3x2–10х–32=0 (получили квадратное уравнение)
Д=484>0, два корня х1 = – 2, х2 = 16/3 = 5⅓
3) Устанавливаем знак производной на каждом интервале.


Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков (– ∞; –2] и [5⅓; +∞),
убывает на промежутке[–2; 5⅓]

в этой точке существует производная, то она равна нулю: f′(хо) = 0.

Признак максимума: если в точке X0 производная меняет знак с плюса на минус, то Х0 есть точка максимума.

Признак минимума: если в точке Х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то Х0 есть точка минимума.

Удобно пользоваться упрощенными формулировками

экстремума,
а значение функции в этих точках – экстремумами функции.

производную f '(x) = 3x2–3
2) Критические точки: 3x2–3 = 0; x2 –1=0,
следовательно х1= 1, х2= –1

3)производная на интервале (– ∞; –1) имеет знак плюс, на интервале (–1; 1) знак минус,
следовательно точка х = –1 – точка максимума.
Аналогично выясняем, что х = 1 – точка минимума
4) Вычислим значение функции в этих точках:
f(–1) = (–1)3–3(–1) = 2 f(1) = 13–3·1 =–2
Ответ: max f(–1) = 2; min f(1) = –2

на промежутке [а; в], находят по следующему плану:

Находят критические точки на этом промежутке.
Вычисляют значение функции в критических точках и на концах данного промежутка.
Из всех полученных значений выбирают наибольшее или наименьшее.

[0;2]

РЕШЕНИЕ:
Находим критические точки заданной функции f′(x) = 18x2–6x–12;
18x2–6x–12 = 0/: 6
3x2–x–2 = 0; х1 = 1; х2 = –2/3 ∉ [0;2]
2) Вычислим значения функции на концах заданного отрезка и в точке х =1:
f(0) = 7;
f(1) = 6-3-12+7= -2;
f(2) = 48-12-24+7=19
из полученных значений выбираем наименьшее и наибольшее
Ответ: наименьшее f(1) = -2, наибольшее f(2) = 19

разнообразных прикладных задач.

таким образом, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

РЕШЕНИЕ:
1) Пусть первое число х, тогда второе (24-х).
2) Сумму квадратов выразим через функцию:
f(x) = х2+(24-х)2 при х ∈ [0; 24]
f (x) = х2+576–48х+х2;
f(x) = 2х2–48х+576;
3) Найдем производную f′(x) = 4х–48 и приравняем к нулю:4х–48 = 0,
Х = 12 – критическая точка.
4) Найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка:
f(0) = 576; f(12) = 288;f(24) = 576
Следовательно, наименьшее значение функция имеет при х=12.
Ответ: 24=12+12

усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»
Я.А.Коменский