Объём прямой призмы; задача;
Объём цилиндра;
3. Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса.
Вычисление объёмов тел с помощью оперативного интеграла;
Объём наклонной призмы;
Объём пирамиды; задача
4. Объём шара и площадь сферы.
Объём шара;
Объём шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора;
Площадь сферы.
Объём конуса;
Выход
с
a
b
c
b
a
Объём куба с ребром 1/n равен 1/n3.
1/n
1/n
1/n
Меню
Док-ть: V=a*b*c.
Док-во:
Измерения a,b,c представляют собой десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходят число n (n ≥ 1), тогда a*10n, b*10n, c*10n – целые числа. Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины 1 /10n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед разобьётся на abc*103.равных кубов с ребром 1/103. Так объём параллелепипеда P равен abc*103*1/103. Итак, V=abc.
S
h
Плоскость B1BC разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых данная. (Эти призмы равны, так как основания и равные высоты.) Следовательно, Объём V данной призмы равен половине объёма параллелепипеда, т.е. V=SABC*h, ч. т. д.
B
A
C
A1
B1
C1
Дополним прямоугольную призму с основанием ABC ( ∠ A прямой) до полного параллелепипеда, как показано на рисунке. В Силу следствия 1 объём этого параллелепипеда равен 2SABC*h, где SABC - площадь треугольника ABC, h – высота призмы.
B
Док-ть:
V=SABC*h
Док-во:
Рассмотрим прямую треугольную призму ABCA1B1C1 с объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту треугольника ABC (отрезок BD), которая разделяет этот треугольник на два треугольника (по крайней мере одна высота треугольника этому условию удовлетворяет).
Плоскость ВВ1D разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC.
Поэтому объёмы V1 и V2 этих призм соответственно равны SABD*h и SBDC*h.
По свойству 20 объёмов V=V1+V2, т.е V=SABD*h + SBCD*h = (SABD +SBDC)*h.
Так V=SABC*h. (1)
A1
A
B
C
B1
C1
Док-ть:
V=SABC*h
Док-во:
A1
B1
C1
D1
E1
A
B
C
D
E
Докажем теорему для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объём каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объёмы.
V=S1*h+S2*h+Sn+(S1+S2+S3)*h=S*h
Вынося за скобки общий множитель, получим в скобке сумму площадей основания треугольных призм, т.е. S основания исходной призмы. Таким образом объём исходной призмы равен произведению S*h. Теорема доказана.
r
h
Призма описана около цилиндра, если её основание описанного основания цилиндра.
Ясно, что высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра.
Призма вписана в цилиндр
Док-во:
Впишем в данный цилиндр P радиуса r правильную n-угольную призму Fn
а в эту призму впишем цилиндр Pn.
Обозначим V и Vn объёмы цилиндров P и Pn через rn, радиус цилиндра Pn.
Так как объём призмы Fn равен Sn*h, где Sn – площадь основания призмы, а цилиндр P содержит призму Fn, которая, в свою очередь содержит цилиндр Pn, то
Vn < Sn*h < V. (2)
Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радикс rn цилиндра Pn стремится к радиусу r цилиндра P (rn=r cos 180n →r при n →∞ ).
Поэтому объём цилиндра Pn стремится к объёму цилиндра P: lim Vn =V. Из неравенства (2) следует, что и lim Sn*h=V. Но lim Sn=πr2.
Таким образом, V= r2*h. (3)
Обозначив площадь π r2 основание цилиндра буквой S, из формулы (3).
Цилиндр P
Цилиндр Pn
Призма Fn
Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(x) и предположим, что S(x) - непрерывная функция на числовом отрезке
a
x
b
α
β
Ф(x)
Вычисление объёмов тел с помощью интеграла
x0=a
x1
x2
xi-1
xi
b=xn
x
Ф(xn)
Ф(xi)
Ф(x2)
Ф(x1)
A2
x
A1
A
O
C
C1
C2
B
B1
B2
h
x0
Дано:
ABCA1B1C1,
Док-ть: V = Sосн*h.
Док-во:
Рассмотрим треугольную призму с объёмом V, площадью S и высотой h. Отметим точку O на одном из оснований призмы и направим ось Ox перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярно к оси Ox и , значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой x абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь получившегося сечения.
Докажем, что площадь S(x) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники ABC (основание призмы) и A1B1C1 (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В самом деле, четырёхугольник AA1B1B – параллелограмм (отрезки AA1 и BB1 равны и параллельны), поэтому A1B1=AB. Аналогично доказывается, что B1C1=AC.
Итак, треугольники A1B1C1 и ABC равны по трем сторонам. Следовательно, S(x)=S. Применяя теперь основную формулу для вычисления объёмов тел при a=0 и b=h, получаем
A
V=
h
0
Выразим объём каждой треугольной призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объёмы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадь оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объём исходной призмы равен S*h.
Теорема доказана
A
A1
C
C1
B1
B
Дано:
ABCO - пирамида
h
Док-ть:
V=1/3*Sосн *h
Док-во:
Рассмотрим треугольную пирамиду OABC с объёмом V , площадью основания S и высотой h.
Проведём ось Ox (OM - высота пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через x абсциссу точки M1 пересечения этой плоскости с осью Ox, а через S(x) – площадь сечения. Выразим S(x) через S,h и x.
Заметим, что треугольники A1B1C1 и ABC подобны.
В самом деле, A1B1║ AB, потому ,OA1B1 ∾ OAB.
Следовательно, A1B1/AB=OA1/OA. Прямоугольные треугольники OA1M1 и OAM также подобны (они имеют общий острый угол с вершиной O).
Поэтому OA1/OA=OM1/OM=x/h
Таким образом, A1B1/AB=x/h.
Аналогично доказывается, что B1C1/BC= x/h и C1A1/CA=x/h.
Итак, треугольник A1B!C1 b и ABC подобны с коэффициентом подобия x/h.
Следовательно, S(x)/S=S(x)=S/h2 x2.
О
0
Если все апофемы пирамиды равны, то вершина проецируется на основании в точку, которая является центром вписанной окружности, в основании пирамиды.
Если все двугранные углы при основании равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности.
Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания одинаковые углы, то вершина проецируется на основании в точку, которая является центром описанной окружности.
α
α1
O
M
M1
Ф
Ф1
В ходе доказательства теоремы об объёме пирамиды мы установили, что в сечении треугольной пирамиды, получается треугольник, подобный основанию. Оказывается, имеет место и более общее свойство. Рассмотрим какую-нибудь фигуру Ф, лежащую в плоскости α, и точку O, не лежащую в этой плоскости. Проведём через каждую точку М фигуры Ф прямую ОМ и рассмотрим множество Ф1 точек пересечения этих прямых с плоскостью α1, параллельной плоскости α, как показано на рисунке. Можно доказать, что фигура Ф1 подобна фигуре Ф. Это свойство широко используется на практике. Например, на нём основано устройство оптических приборов.
Н
r=√OC2-OM2=√R2-x2
S(x)= π r2,то S(x)= π (R2-x2).
Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = -R, b=R, получим Vшара= 4/3 πR3.
O
A
AB=h
C
α
Если радиус шара равен R , а высота сегмента равна h , то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле V= πh2 (R-1/3h).
B
Шаровой слой
Шаровой слой
Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов двух шаровых сегментов.
Где Pn= I -площадь поверхности многогранника.
Отсюда получаем Pn= 3Vn/R. (2)
Поэтому 4/3 πR3 Так как 4/3 π(R+δ) 3→4/3 πR3 при δ →0, то и Vn →4/3 πR3 при δ →0 (n →∞). Переходя затем к пределу в равенстве (2), получаем Теперь будем неограниченно увеличивать n таким образом. чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю.
lim Pn = lim 3Vn/R = 3/R lim Vn=3/R*4/3 πR3 = 4 πR2 .
По определению площади сферы S = lim Pn, следовательно, S=4 πR2.
Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.
Email: Нажмите что бы посмотреть