Презентация, доклад по математике на тему Сечения многогранника

Содержание

Цель урока: закрепление полученных знаний построения сечений многогранников, углубление, систематизация.

Слайд 1Построение сечений многогранников

Построение сечений  многогранников

Слайд 2Цель урока: закрепление полученных знаний построения сечений многогранников, углубление, систематизация.



Цель урока: закрепление полученных знаний построения сечений многогранников, углубление, систематизация.

Слайд 3«Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я

запомню. Вовлеки меня – и я научусь.»

Древняя китайская
пословица

«Скажи мне – и я забуду.  Покажи мне – и я запомню.  Вовлеки меня –

Слайд 4
Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют

необычные картины. Кстати, эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты.

Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей и другие, удивляли своими картинами математиков.

http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html

http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html

http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html

Это интересно!

Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Кстати, эти рисунки очень

Слайд 5Жос де Мей
"Такое может нарисовать только тот, кто делает дизайн, не

зная перспективы..."


Жос де Мей

Слайд 6Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх.
Поднимаясь по этой лесенке, мы

остаёмся на том же этаже.

Лесенки здесь быть не может!




а

А2. Если две точки прямой
лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.

Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх.Поднимаясь по этой лесенке, мы остаёмся на том же этаже.

Слайд 7"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на

корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет".         

Леонардо да Винчи

http://blogs.nnm.ru/page6/


Слайд 8Плоскость (в том числе и секущую) можно задать

следующим образом
Плоскость  (в том числе и секущую)    можно задать  следующим  образом

Слайд 9

Взаимное расположение плоскости и многогранника



В
А
Нет точек пересечения
Одна точка пересечения
Пересечением
является

отрезок

Пересечением
является плоскость

Взаимное расположение плоскости и многогранника ВАНет точек пересеченияОдна точка пересеченияПересечением является отрезокПересечением является плоскость

Слайд 10Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от

которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).
Секущей плоскостью параллелепипеда (тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра).

Слайд 11 Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки

пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника.
Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.
Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника

Слайд 12Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются

данные отрезки, называется сечением тетраэдра ((параллелепипеда).
Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра ((параллелепипеда).

Слайд 13




Секущая плоскость
сечение
Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого

являются эти отрезки – сечение тетраэдра.

Секущая плоскостьсечениеСекущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – сечение тетраэдра.

Слайд 14Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Слайд 15АКСИОМЫ
планиметрия
стереометрия
1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки
2. Имеются по

крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых

Основное понятие геометрии «лежать между»

4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна





А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости




А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

АКСИОМЫпланиметриястереометрия1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки2. Имеются по крайней мере  три точки, не

Слайд 16При этом необходимо учитывать следующее:
1. Соединять можно только две точки, лежащие
в

плоскости одной грани.

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

При этом необходимо учитывать следующее:1. Соединять можно только две точки, лежащиев плоскости одной грани.Для построения сечения нужно

Слайд 17
Какие многоугольники могут получиться в сечении ?
Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях

могут получиться:


Четырехугольники

Треугольники

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?Тетраэдр имеет 4 граниВ сечениях могут получиться:ЧетырехугольникиТреугольники

Слайд 18Треугольники

Параллелепипед имеет 6 граней
Четырехугольники

Шестиугольники
Пятиугольники

В его сечениях
могут получиться:

ТреугольникиПараллелепипед имеет 6 гранейЧетырехугольники  ШестиугольникиПятиугольникиВ его сечениях могут получиться:

Слайд 19Блиц - опрос
Задача блиц – опроса: ответить на вопросы и обосновать

ответ с помощью аксиом, теорем и свойств параллельных плоскостей.
Блиц - опросЗадача блиц – опроса: ответить на вопросы и обосновать ответ с помощью аксиом, теорем и

Слайд 20
K

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
H





Блиц-опрос.

Верите ли вы, что прямые НК и ВВ1 пересекаются?

KАВСDА1D1С1B1HБлиц-опрос.Верите ли вы, что прямые НК и ВВ1 пересекаются?

Слайд 21
А
В
С
D
А1
D1
С1
B1


N
К

Н


Блиц-опрос.

Верите ли вы, что

прямые НК и ВВ1
пересекаются?

АВСDА1D1С1B1NКНБлиц-опрос.    Верите ли вы, что    прямые НК и ВВ1

Слайд 22

А
В
С
D
А1
D1
С1
B1

Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются?

N
Р
Н


К
М



Блиц-опрос.

На чертеже

есть
ещё ошибка!
АВСDА1D1С1B1Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются? NРНКМБлиц-опрос.На чертеже есть ещё ошибка!

Слайд 23



А
В
С
D
А1
D1
С1
B1

Верите ли вы, что прямые НR и NK
пересекаются?

N
Н


К


Блиц-опрос.


R


На чертеже есть


ещё ошибка!
АВСDА1D1С1B1Верите ли вы, что прямые НR и NKпересекаются? NНКБлиц-опрос.RНа чертеже есть ещё ошибка!

Слайд 24



А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
Пересекаются ли прямые НR и А1В1?
N
Н

К


Блиц-опрос.

R












Пересекаются ли прямые НR и

С1D1?

Пересекаются ли
прямые NK и DC?

Пересекаются ли
прямые NK и АD?



АВСDА1D1С1B1Пересекаются ли прямые НR и А1В1? NНКБлиц-опрос.RПересекаются ли прямые НR и С1D1? Пересекаются ли прямые NK и

Слайд 25
О
М
А
В
С
D






Верите ли вы,
что прямые МО и АС
пересекаются?

Блиц-опрос.



Верите ли вы,


что прямые МО и АВ
пересекаются?

ОМАВСDВерите ли вы, что прямые МО и АСпересекаются? Блиц-опрос.Верите ли вы, что прямые МО и АВпересекаются?

Слайд 26Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на

лыжах … : научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь..
Д. Пойа

Как научиться решать задачи?

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах … : научиться этому можно

Слайд 27



Если две параллельные плоскости

пересечены третьей,
то линии их пересечения
параллельны.

Свойство
параллельных плоскостей.

Это свойство нам поможет
при построении сечений.

Если две параллельные плоскости             пересечены

Слайд 28




А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
N
H
K



Простейшие задачи.



1
2


АВСDА1D1С1B1NHKПростейшие задачи.12

Слайд 29
О
А
В
С
D

Простейшие задачи.

3
4

О
А
В
С
D



ОАВСDПростейшие задачи.34ОАВСD

Слайд 30



А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
Диагональные сечения.









5
6



АВСDА1D1С1B1Диагональные сечения.56

Слайд 31


А
В
С
D
А1
D1
С1
B1
N
H




О

7

K



АВСDА1D1С1B1NHО7K

Слайд 32 Аксиоматический метод
Метод следов

Суть метода заключается в построении

вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .    




















Аксиоматический метод 			 			Метод следовСуть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением

Слайд 33
A
B
C
D

K
L
M
N
F
G
Проводим через точки F и O прямую FO.


O

Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.

Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?



Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

ABCDKLMNFG Проводим через точки F и O прямую FO.   O Отрезок FO есть разрез грани

Слайд 34A
B
C
D

K
L
M
N
F
G
Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания
Проводим

прямую АВ до пересечения с прямой FO.

O

Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

Аналогичным образом получим точку R.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?




ABCDKLMNFG Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания Проводим прямую АВ до пересечения с прямой

Слайд 35
A
B
C
D

K
L
M
N
F
G
Шаг 3: делаем разрезы на других гранях
Так как прямая

HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе.

O

Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все
делаем правильно?



ABCDKLMNFGШаг 3:  делаем разрезы на других гранях Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то

Слайд 36C
B



A
D

K
L
M
N
F
G
Шаг 4: выделяем сечение многогранника
Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который

и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G.

O

G


CBADKLMNFGШаг 4:  выделяем сечение многогранника	Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей

Слайд 37A1
А
В
В1
С
С1
D
D1
M
N




1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N








O

К

Е

P

Правила


1. MN

2.Продолжим MN,ВА

4. В1О

6. КМ

7. Продолжим MN и BD.

9. В1E

5. В1О ∩ А1А=К

8. MN ∩ BD=E

10. B1Е ∩ D1D=P , PN

3.MN ∩ BA=O

A1АВВ1СС1DD1MN1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В1, М, N OКЕPПравила1. MN2.Продолжим MN,ВА 4. В1О6. КМ

Слайд 38Р





О
Т
А
В
С
S
D












К
М
2
X





РОТАВСSDКМ2X

Слайд 39Самостоятельная работа. (с последующей проверкой)

Самостоятельная работа. (с последующей проверкой)

Слайд 40
P

N








M

N

P

M

N
P

M
Решения варианта 1.
Решения варианта 2.

M
N
P
M
N
P
M
N
P













PNMNPMNPMРешения варианта 1.Решения варианта 2.MNPMNPMNP

Слайд 41Правила для самоконтроля:
Вершины сечения находятся только на ребрах.

Стороны сечения находятся только

на грани многогранника.

Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.
Правила для самоконтроля:Вершины сечения находятся только на ребрах.Стороны сечения находятся только на грани многогранника.Секущая плоскость пересекает грань

Слайд 42Составить две задачи на построение сечений

многогранников с использованием полученных знаний.

Творческое домашнее задание

Составить  две  задачи  на   построение сечений многогранников с использованием полученных знаний. Творческое

Слайд 43Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а

если хотите научиться решать задачи, то решайте их
(Д. Пойа)

СПАСИБО ЗА УРОК !

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то

Слайд 44Использованные материалы и ресурсы
Атанасян Л.С., и др. Геометрия 10-11. – М.:

Просвещение, 2008.

Литвиненко В.Н., Многогранники. Задачи и решения. – М.: Вита-Пресс, 1995.

Смирнов В.А., Смирнова И. М., ЕГЭ 100 баллов. Геометрия. Сечение многогранников. – М.: Экзамен, 2011.

Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» «Математика». Федотова О., Кабакова Т. Интегрированный урок "Построение сечений призмы", 9/2010.
Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – М., Просвещение, 1997.
Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»
7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html



Использованные материалы и ресурсыАтанасян Л.С., и др. Геометрия 10-11. – М.: Просвещение, 2008. Литвиненко В.Н., Многогранники. Задачи

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть