Презентация, доклад по математике на тему Решение текстовых задач нестандартным способом

математики Рудневой Н.В.

процесса обучения ученика с его интересами и
возможностями, требующая учета особенностей его личности.
Такая позиция определяет общие направления перестройки школьного
математического образования, главными из которых являются усиление
общекультурного звучания курса и повышение его значимости для формирования
личности подрастающего человека.
Арифметические приемы решения текстовых задач - это средство обучения
способам рассуждений, выбору стратегии решения , анализу ситуации,
сопоставлению данных, что в  конечном итоге способствует развитию мышления
учащихся.
Данный подход характеризуется:
- соответствием стандарту школьного математического образования;
- увеличением удельного веса арифметической составляющей курса;
- освобождением от излишней алгебраитизации курса математики.

Введение.

Надгробная надпись:
Путник! Здесь прах погребён Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло
прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла
ещё жизни – покрылся
пухом подбородок.
Седьмую в бездетном браке
провёл Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына.
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

X
X/6
X/12
X/7
5
X/2

4

На языке алгебры:

Решив уравнение

и найдя,

что х=84,

узнаем следующие факты

биографии Диофанта:

он женился в 21 год,

стал отцом на 38 году,

потерял сына

на 80-м году жизни,

умер в 84 года.

Скажи, сколько лет жизни, достигнув смерти, воспринял Диофант?

Уравнение
X=X/6+X/12+X/7+5+X/2+4

из этих 200 г теста нужно сделать 5 булочек: 25-20=5 (шт.) - на столько булочек больше чем калачей; 10*20=200 (г) - уйдет на 5 булочек; 200: 5=40 (г) - весит одна булочка; 40*25=1000 (г)- всего было теста .

Задача про калачи и булочки.

Мама замесила тесто. Из полученного теста можно сделать
20 одинаковых калачей или 25 одинаковых булочек.
Какова масса всего теста, если на один калач идет
на 10 г больше теста, чем на одну булочку?

Примечание. Впоследствии задачи такого типа будут решаться
в курсе алгебры с помощью уравнения с одной переменной.

Ответ: 1 кг теста.

Решение:

 2 к. и 3 щ. - 2,9 кг.
Найдем вес  5 котят и 5 щенят, сложив эти данные:
2,6 + 2,9 = 5,5 (кг).
Тогда вес 1 котенка и 1 щенка 5,5 : 5 = 1,1 (кг).
Тогда 2 котенка и 2 щенка весят 2,2 кг.
Сравним 2 к. и 3 щ. - 2,9 кг
                 2 к. и 2 щ. - 2,2 кг
Видим, что щенок весит 2,9 - 2,2 = 0,9 (кг).

Примечание. Впоследствии задачи подобного типа будут решаться
с применением системы уравнений с двумя неизвестными. 

Задача про котят и щенят.

Задачи на «уравнивание»

Три котенка и два щенка весят 2,6 кг,
а два котенка и три щенка весят 2,9 кг.
Сколько весит щенок?

Ответ: 0,9 кг вес щенка.

Решение:

задние лапки,
то лапок окажется всего  44 (22*2=44 ),
но так как всего 78 лапок,
то лишние 34 лапки  (78 - 44=34) - у лягушек.
Так как у каждой лягушки на 2 лапки больше,
чем у цапли, то можно найти
сколько всего лягушек живет на болоте (34:2=17).
Тогда 22 - 17 = 5 (цапель).

Ответ: 17 лягушек и 5 цапель.

Задачи на «уравнивание».

На болоте живут цапли и лягушки. У них вместе 22 головы и 78 лапок.
Сколько всего лягушек и сколько цапель живут на болоте?

Решение:

Примечание. Обычно задачи подобного типа решаются с помощью
уравнения или системы уравнений с двумя неизвестными. 

Катер проплывает от А до В
за 2 часа, а от В до А за 3 часа.  За какое время от А до В проплывет плот?

Так как скорость движения плота равна скорости движения реки, то
1:3=1/3 (расстояния) - часть пути, которую проплывает катер
за 1 час против течения;
1:2=1/2 (расстояния) - часть пути, которую проплывает катер
за 1 час по течению;
Так их разница составляет удвоенную скорость течения, то
(1/2 - 1/3):2=1/12 (расстояния) - часть пути, которую проплывает плот за 1 час.
1:1/12=12 (часов) - время движения плота.

Примечание. 
Задачи подобного рода встречаются в заданиях
Единого Государственного Экзамена
и решаются учащимися чаще всего
с помощью системы уравнений.

Ответ: за 12 часов.

Решение:

часть пути – за 1 час по течению реки;
⅓ часть пути – за 1 час против течения реки;
½ - ⅓ = 1/6 ( часть пути ) – удвоенная скорость течения реки;
1/6 ÷ 2 = 1/12 ( часть пути ) за 1 час течение реки;
1 ÷ 1/12 = 12 ( ч )
Ответ: 12 ч

Решение с помощью уравнения:
Пусть х км/ч – скорость парохода, а
у км/ч скорость течения реки.
Составим уравнение:
2( х + у ) = 3( х – у )
х = 5у
2( 5у + у ) = 12у(км) – весь путь.

Т.к. у км/ч- скорость течения, то
время равно 12у ÷ у = 12 ( ч )

Ответ: 12 ч

Примечание. Выбор того или иного способа решения задачи
оставляем за Вами.

Пароход вниз по течению реки проплыл путь за 2 часа, а вверх против течения
реки за 3 часа. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть тот же путь?

результате у нее осталось три яблока.

((3 * 2) * 2) * 2 = 24 (яб.) - у Кати было 24 яблока.

Катя нарвала в саду яблоки. По дороге домой она встретила одну за другой
трех подруг. Каждой она отдавала половину имеющихся у нее яблок.
Домой она принесла три яблока. Сколько яблок нарвала Катя?

Первоначальное число яблок найдем "обратным ходом».

Ответ: 24 яблока.

3

6

12

24

Примечание. Попробуйте решить задачу традиционным способом с помощью уравнения и сравните трудоёмкость его по сравнению с предложенным.

приобрела
у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая купила половину от оставшихся
и ещё пол-яйца. Третья купила последний десяток.
Сколько яиц принесла крестьянка на базар?

Выполним вычисления и получим ответ.

Пусть X яиц – было, тогда:

Для сравнения. Решение задачи с помощью уравнения:

Вывод: Очевидно, что целесообразнее решать задачу «обратным ходом».

Составим схему решения задачи.

Решим задачу с конца,
заменив действия на обратные.

Ответ: 43 яйца было всего.

10

10,5

21

21,5

43

года старше мамы,
всем вместе 81 год. Сколько лет папе?

 Если бы возраст папы был на 4 года меньше,
то всем вместе было бы    81 - 4 = 77 лет.
Если возраст дочери принять за 1 часть, то
возраст мамы составит 3 части, папы 3 части,
т.е. 77 лет составит 7 частей.

маме

Поэтому
77:7=11(лет) возраст дочери;
     11*3=33(года) маме,
33+4=37 (лет) папе.

папе

дочери

Ответ: 37 лет папе.

Примечание. Впоследствии задачи такого типа будут решаться
в курсе алгебры с помощью уравнения с одной переменной.

Решение:

уменьшить
цену товара, чтобы она стала прежней?

Старая цена
Новая цена

Добавится 1 клетка. Новая цена товара составит отрезок в 5 клеток.
Теперь роль целого изменится, она составит 5 клеток. Необходимо убавить
1 клетку, чтобы цена товара стала прежней.
Но теперь она составит пятую часть , т.е. 20%.

Изменённая цена
Первоначальная цена

Ответ: 
уменьшить на 20%.

Так как 25% составляют четвертую часть, то  примем прежнюю цену товара
за отрезок в 4 клетки.

Примечание. Впоследствии задачи такого типа будут решаться
в курсе алгебры с помощью составления пропорций.

Решение:

какое время можно
распечатать на этом принтере 100 страниц?

За 2,5 минут – 15 страниц
За X минут – 100 страниц

Ответ:
за мин.

2. Девять рабочих могут выполнить работу за 10 ч. Сколько еще нужно пригласить рабочих, чтобы эта работа была выполнена за 6 ч?

9 рабочих – за 10 часов
X рабочих – за 6 часов

х=15(раб.) – всего,
15-9=6 (раб.) –пригласить.

3. Бригада студентов из 16 человек за 20 дней собрала 180 тонн картофеля.
Сколько картофеля уберет бригада из 12 человек за 28 дней, если будет
работать с такой же производительностью?

Ответ: 6 рабочих ещё нужно.

16 чел.– за 20 дней – 180 тонн
12 чел. – за 28 дней – X тонн

Запишем краткое условие задачи:

Вывод: «смешанные» пропорциональности легче решать с помощью
арифметических действий, не разбивая задачу на пропорции.

Ответ: 12 человек за 28 дней собрали 189 тонн картошки.

пояснения

собрала 180 тонн картофеля.
Сколько картофеля уберет бригада из 12 человек за 28 дней, если будет
работать с такой же производительностью?

16 чел.– за 20 дней – 180 тонн
12 чел. – за 28 дней – X тонн

Вывод: «смешанные» пропорциональности легче решать с помощью
арифметических действий, не разбивая задачу на пропорции.

Ответ: 12 человек за 28 дней собрали 189 тонн картошки.

Проп-сти прямая прямая

Рассуждения:

1 человек за 20 дней соберет в 16 раз меньше, т.е. 180/16 т;
12 человек за 20 дней соберут в 12 раз больше, т.е. (180/16)*12 т;
12 человек за 1 день соберут в 20 раз меньше, т.е. (180*12/16):20 т;
12 человек за 28 дней соберут в 28 раз больше, т.е. (180*12/16*20)*28 т.
Теперь проведем вычисления: 189 тонн.
Ответ: 189 тонн.

пояснения

разбивая задачу на пропорции.

Ответ: за 30 часов.

обратная пропорциональность

Комментарии:

15 трактористов - за 48 часов – 6 участков

15 трактористов могут вспахать 6 участков за 48 часов.
За сколько часов вспашут 5 участков 20 трактористов?

Х=48*

15 трактористов - за 48:6=8 часов – 1 участок

1 тракторист - за 8 часов – 1:15 участка

20 трактористов - за 8 часов – (1:15)*20=4/3 участка

20 трактористов - за 8:(4/3)=6 часов – 1 участок

20 трактористов - за 6*5=30 часов – 5 участков

15 трактористов - за 48 часов – 6 участков

20 трактористов - за х часов – 5 участков

Чем больше трактористов,
тем меньше времени нужно.

Чем меньше участков,
тем меньше времени нужно.

Решение:

*(5/6)

(15/20)

прямая

Арифметический
метод:

Метод
рассуждений:

между которыми 420 км. Через какое время расстояние между поездами будет
60 км, если скорость одного поезда 33 км/ч, а второго 27 км/ч? 

ДРУГИЕ ЗАДАЧИ.

7.Трое дружных медвежат очень любят обедать. Первый и второй могут съесть
миску похлебки за 6 минут, первый и третий – за 8 минут, второй и третий –
за 12 минут. За сколько минут медвежата втроем съедят всю похлебку? За
сколько времени пообедает первый медвежонок, если будет есть один?

1.Нефтепровод проходит мимо трёх деревень А, В, С. В первой деревне доходит 30% от
первоначального количества нефти, во второй –40% того количества, которое дойдёт до
деревни В, а в третьей 50% того количества, которое дойдёт до деревни С. Сколько
процентов нефти от первоначального количества доходит до конца нефтепровода?

 6.Расстояние между двумя городами 400 км. Из этих городов навстречу друг
другу одновременно выехали два автомобиля, и через 5 ч они встретились.
Определите скорости автомобилей, если один из них проезжал в час
на 12 километров больше второго.

3.Из пункта А в пункт В выехал велосипедист со скоростью 9 км/ч. Через 2 ч после
начала движения велосипедиста ему навстречу из пункта В выехал грузовик со
скоростью41 км/ч. Найдите расстояние между пунктами А и В, если велосипедист
и грузовик встретились спустя 3 ч после начала движения грузовика.

4.Задание, с которым один работник справляется  за 2 часа, другой выполняет
за 3 часа. За сколько часов будет выполнено задание при совместной работе?

5.Подряд написаны числа 1, 2, 3, 4, ... , 1996, 1997. Каких цифр  при записи
этих чисел было использовано больше - единиц или двоек? На сколько?