Презентация, доклад по математике на тему Решение систем уравнений и неравенств

математики
Марин Валентин Владимирович

 Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области основная общеобразовательная школа с.Краснояриха муниципального района Челно-Вершинский Самарской области

Краснояриха 2017 г.

«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.»
Н.Е. Жуковский

решении заданий повышенного уровня модуля «Алгебра» (№21 из 2-ой части) основного государственного экзамена по математике.

Цель: обобщение и систематизация имеющихся сведений о системах уравнений и неравенств и методах их решения.

не известно, но они имеются в книге Ньютона «Всеобщая арифметика», которая была издана в 1707 году.
Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII-XVIII вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и др.
Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений системы. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы х и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых.

уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.
3х-2у=4, х+ху+у=-3, х2+2у=5,
х+3у=5 х2+у2=5 -х+у=1
Системы двух линейных уравнений ах+bу=с
с двумя неизвестными имеют вид:  dx+ey=f
где  a,  b,  c,  d,  e,  f – заданные числа;  x,  y – неизвестные. Числа   a,  b,  d,  e  – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены.

этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.
Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет.

х2+2у=5,
-х+у=1 решения (-3;-2), (1;2)
2x-3y=-4,
X+3y=7 решение (1;2)

сложения

Метод
замены пере
менной

х, у.

В каждом уравнении выразить у через х.
Построить график первого уравнения.
Построить график второго уравнения.
Найти точки пересечения графиков.
Координаты каждой точки пересечения в виде (х;у) являются решениями системы уравнений.

х, у.

В одном из уравнений выразить у через х.
Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение относительно х.
Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение, полученное на первом шаге.
Записать ответ в виде пар значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

ху=2
Выразим х через у из первого уравнения системы: х=5-3у.
Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5-3у)у=2.
Решим полученное уравнение: 5у-3у2=2;
3у2-5у+2=0; у1=1, у2=2/3.
Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х=5-3у. Если у=1, то х=5-3·1=2; если у=2/3, то х=5-3·2/3=5-2=3.
Пары (2;1) и (3;2/3) – решения заданной системы уравнений.

переменными х, у.

Привести два уравнения системы к одинаковым по модулю коэффициентам при переменной  х или при переменной у.
Если коэффициенты одинаковые, то из одного уравнения вычесть другое. Если же коэффициенты противоположные по значению, то уравнения системы складываются.
Решить полученное уравнение относительно одной переменной и найти значение одной из переменных системы.
Выразить из одного из уравнений системы неизвестную переменную.
Подставить известное значение и найти значение второй переменной.
Записать ответ в виде пар значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

17х+6у=-9
Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения:
21х+6у=3,
17х+6у=-9
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения: (21х+6у)-(17х+6у)=3-(-9)
21х+6у-17х-6у=3+9
4х=12;х=12:4; х=3
Подставим найденное х в первое уравнение первоначальной системы:
7·3+2у=1; 2у=1-21; у=-10.
Запишем ответ в виде (х;у): (3;-10).

х, у.

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах.
Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы.
Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.
Поэтому алгоритм будет следующим:
В уравнении(ях) какая-то его часть заменяется другой переменной (a,b,t,...) 
Решается(ются) новое(ые) уравнение(я) и получают корни;
Возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляется требуемое неизвестное.   

х2-у2=3
Введем новую переменную а=х/у. Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в виде: а+1/а=2,5. Решим это уравнение относительно переменной а: а+1/а-5/2=0; (2а2+2-5а)/2а=0;
2а2+2-5а=0; а1=2; а2=1/2.
Оба этих условия удовлетворяют условию 2а≠0, а потому являются корнями рассматриваемого уравнения с переменной а.
Но а=х/у, значит, либо х/у=2, откуда находим, что х=2у, либо у/х=1/2, откуда находим что у=2х.
Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2-у2=3, о котором мы пока не вспоминали.

х=2у, у=2х,
х2-у2=3 х2-у2=3
Надо найти решения первой системы, решения второй системы и все полученные пары включить в ответ.
Решим первую систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. (2у)2-у2=3; 4у2-у2=3; 3у2=3; у2=1; у1=1; у2=-1.Тогда х1=2·1=2; х2=2·(-1)=-2.
Решим вторую систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки, так как у=2х: х2-(2х)2=3;
х2-4х2=3; -3х2=3; х2=-1.Это уравнение не имеет корней, значит и вторая система не имеет решений.
Таким образом в ответ включим только решения первой системы: (2;1), (-2;-1).

Ответ: (1;0)

Обозначим и
получим

Решим

Получим

неравенства объединяются фигурной скобкой (так же, как и уравнения в системах уравнений).
Задача состоит в том, чтобы найти все общие решения заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы становится верным числовым неравенством, называют решением системы неравенств.

Если надо решить систему неравенств, то:
Решаем каждое неравенство системы отдельно;
Изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений;
Эта общая часть и является решением данной системы неравенств.

5х-х2≥0
Решим неравенство х2-9≥0, т.е. (х-3)(х+3) ≥0.
Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой. Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)=(х-3)(х+3) сохраняет постоянный знак. Нас интересуют промежутки где р(х) ≥ 0. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация решения первого неравенства.

числовой прямой. Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)= х(5-х) сохраняет постоянный знак. Нас интересуют промежутки где р(х) ≥ 0. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация решения первого неравенства.


Отметим найденные решения первого и второго неравенства системы на одной координатной прямой, использовав для решений первого неравенства верхнюю штриховку, а решений второго – нижнюю штриховку. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы. Это отрезок [3;5]