Презентация, доклад по математике на тему Решение систем уравнений и неравенств

Содержание

Актуальность: применение знаний по теме «Системы уравнений и неравенств» при решении заданий повышенного уровня модуля «Алгебра» (№21 из 2-ой части) основного государственного экзамена по математике. Цель: обобщение и систематизация имеющихся сведений о системах уравнений и

Слайд 1Решение систем уравнений и неравенств
Выполнила: ученица 9 класса Никитина Светлана
Руководитель: учитель

математики
Марин Валентин Владимирович

 Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области основная общеобразовательная школа с.Краснояриха муниципального района Челно-Вершинский Самарской области

Краснояриха 2017 г.

«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.»
Н.Е. Жуковский

Решение систем уравнений и неравенствВыполнила: ученица 9 класса Никитина СветланаРуководитель: учитель математики Марин Валентин Владимирович Государственное бюджетное общеобразовательное

Слайд 2
Актуальность: применение знаний по теме «Системы уравнений и неравенств» при

решении заданий повышенного уровня модуля «Алгебра» (№21 из 2-ой части) основного государственного экзамена по математике.

Цель: обобщение и систематизация имеющихся сведений о системах уравнений и неравенств и методах их решения.
Актуальность: применение знаний по теме «Системы уравнений и неравенств» при решении заданий повышенного уровня модуля «Алгебра»

Слайд 3 Историческая справка
Способы решения систем уравнений знали люди давно. Точной даты

не известно, но они имеются в книге Ньютона «Всеобщая арифметика», которая была издана в 1707 году.
Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII-XVIII вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и др.
Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений системы. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы х и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых.
Историческая справкаСпособы решения систем уравнений знали люди давно. Точной даты не известно, но они имеются в

Слайд 4Определения
Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом

уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.
3х-2у=4, х+ху+у=-3, х2+2у=5,
х+3у=5 х2+у2=5 -х+у=1
Системы двух линейных уравнений ах+bу=с
с двумя неизвестными имеют вид:  dx+ey=f
где  a,  b,  c,  d,  e,  f – заданные числа;  x,  y – неизвестные. Числа   a,  b,  d,  e  – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены.









Определения  Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые

Слайд 5Решением системы уравнений с двумя переменными 
называется пара значений (х;у)

этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.
Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет.

х2+2у=5,
-х+у=1 решения (-3;-2), (1;2)
2x-3y=-4,
X+3y=7 решение (1;2)



Решением системы уравнений с двумя переменными   называется пара значений (х;у) этих переменных, обращающая каждое уравнение системы

Слайд 6
Способы решения систем уравнений



Графический способ

Аналитический способ



Метод подстановки

Метод алгебраического

сложения

Метод
замены пере
менной



Способы решения систем уравнений 	Графический способ 	Аналитический способМетод подстановки 	Метод алгебраического сложенияМетод замены переменной

Слайд 7Алгоритм графического метода при решении системы двух уравнений с двумя переменными

х, у.

В каждом уравнении выразить у через х.
Построить график первого уравнения.
Построить график второго уравнения.
Найти точки пересечения графиков.
Координаты каждой точки пересечения в виде (х;у) являются решениями системы уравнений.

Алгоритм графического метода при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.В каждом уравнении выразить у

Слайд 9Алгоритм метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными

х, у.

В одном из уравнений выразить у через х.
Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение относительно х.
Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение, полученное на первом шаге.
Записать ответ в виде пар значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Алгоритм метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.В одном из уравнений выразить

Слайд 10Решить систему уравнений: х+3у=5,

ху=2
Выразим х через у из первого уравнения системы: х=5-3у.
Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5-3у)у=2.
Решим полученное уравнение: 5у-3у2=2;
3у2-5у+2=0; у1=1, у2=2/3.
Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х=5-3у. Если у=1, то х=5-3·1=2; если у=2/3, то х=5-3·2/3=5-2=3.
Пары (2;1) и (3;2/3) – решения заданной системы уравнений.


Решить систему уравнений:   х+3у=5,

Слайд 11Алгоритм метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя

переменными х, у.

Привести два уравнения системы к одинаковым по модулю коэффициентам при переменной  х или при переменной у.
Если коэффициенты одинаковые, то из одного уравнения вычесть другое. Если же коэффициенты противоположные по значению, то уравнения системы складываются.
Решить полученное уравнение относительно одной переменной и найти значение одной из переменных системы.
Выразить из одного из уравнений системы неизвестную переменную.
Подставить известное значение и найти значение второй переменной.
Записать ответ в виде пар значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Алгоритм метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.Привести два уравнения системы

Слайд 12Решить систему уравнений: 7х+2у=1,

17х+6у=-9
Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения:
21х+6у=3,
17х+6у=-9
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения: (21х+6у)-(17х+6у)=3-(-9)
21х+6у-17х-6у=3+9
4х=12;х=12:4; х=3
Подставим найденное х в первое уравнение первоначальной системы:
7·3+2у=1; 2у=1-21; у=-10.
Запишем ответ в виде (х;у): (3;-10).



Решить систему уравнений:      7х+2у=1,

Слайд 13Метод замены переменной при решении системы двух уравнений с двумя переменными

х, у.

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах.
Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы.
Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.
Поэтому алгоритм будет следующим:
В уравнении(ях) какая-то его часть заменяется другой переменной (a,b,t,...) 
Решается(ются) новое(ые) уравнение(я) и получают корни;
Возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляется требуемое неизвестное.   

Метод замены переменной при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.Метод введения новых переменных при

Слайд 14 Решить систему уравнений: х/y+y/x=2,5

х2-у2=3
Введем новую переменную а=х/у. Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в виде: а+1/а=2,5. Решим это уравнение относительно переменной а: а+1/а-5/2=0; (2а2+2-5а)/2а=0;
2а2+2-5а=0; а1=2; а2=1/2.
Оба этих условия удовлетворяют условию 2а≠0, а потому являются корнями рассматриваемого уравнения с переменной а.
Но а=х/у, значит, либо х/у=2, откуда находим, что х=2у, либо у/х=1/2, откуда находим что у=2х.
Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2-у2=3, о котором мы пока не вспоминали.
Решить систему уравнений:   х/y+y/x=2,5

Слайд 15Иными словами задача сводится к решению двух систем уравнений:

х=2у, у=2х,
х2-у2=3 х2-у2=3
Надо найти решения первой системы, решения второй системы и все полученные пары включить в ответ.
Решим первую систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. (2у)2-у2=3; 4у2-у2=3; 3у2=3; у2=1; у1=1; у2=-1.Тогда х1=2·1=2; х2=2·(-1)=-2.
Решим вторую систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки, так как у=2х: х2-(2х)2=3;
х2-4х2=3; -3х2=3; х2=-1.Это уравнение не имеет корней, значит и вторая система не имеет решений.
Таким образом в ответ включим только решения первой системы: (2;1), (-2;-1).



Иными словами задача сводится к решению двух систем уравнений:    х=2у,

Слайд 16Вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы












Ответ: (1;0)

Обозначим и
получим

Решим

Получим

Вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы   Ответ: (1;0)Обозначим и получимРешимПолучим

Слайд 17Системы неравенств
Система неравенств состоит из нескольких неравенств с одной переменной. Эти

неравенства объединяются фигурной скобкой (так же, как и уравнения в системах уравнений).
Задача состоит в том, чтобы найти все общие решения заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы становится верным числовым неравенством, называют решением системы неравенств.

Если надо решить систему неравенств, то:
Решаем каждое неравенство системы отдельно;
Изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений;
Эта общая часть и является решением данной системы неравенств.
Системы неравенствСистема неравенств состоит из нескольких неравенств с одной переменной. Эти неравенства объединяются фигурной скобкой (так же,

Слайд 18 Решим систему неравенств: х2-9≥0,

5х-х2≥0
Решим неравенство х2-9≥0, т.е. (х-3)(х+3) ≥0.
Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой. Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)=(х-3)(х+3) сохраняет постоянный знак. Нас интересуют промежутки где р(х) ≥ 0. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация решения первого неравенства.



Решим систему неравенств:   х2-9≥0,

Слайд 19Решим неравенство 5х-х2 ≥0, т.е. х(5-х)≥0
Отметим точки 0 и 5 на

числовой прямой. Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х)= х(5-х) сохраняет постоянный знак. Нас интересуют промежутки где р(х) ≥ 0. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация решения первого неравенства.


Отметим найденные решения первого и второго неравенства системы на одной координатной прямой, использовав для решений первого неравенства верхнюю штриховку, а решений второго – нижнюю штриховку. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы. Это отрезок [3;5]

Решим неравенство 5х-х2 ≥0, т.е. х(5-х)≥0Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой. Они разбивают прямую на

Слайд 20Спасибо за внимание!

Спасибо за внимание!

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть