Впрочем, любой здравомыслящий человек, ознакомившись с этими принципами, вынужден их признать. Вот, например, так называемый принцип Дирихле.
Математики очень любят объяснение этого принципа сводить к примеру кроликов (зайцев, голубей) в клетках. Поступим так же и мы.
В школьной программе нет этой темы, однако, на основе такого простого и даже чуть наивного принципа, математикам удается решать весьма трудные задачи, доказывать красивые теоремы, причем не только элементарные.
Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков
Не надо бояться дробного числа зайцев — если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.
Более общая формулировка «Если z зайцев сидят в
k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»
Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем
z / k.
Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k ∙ (z / k) = z.
Противоречие условию – в k клетках z зайцев!
Можно сказать, что принцип Дирихле устанавливает связь
между объектами (зайцами) и контейнерами ( клетками)
при выполнении определённых условий.
«Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»
Принцип Дирихле
хотя бы одна клетка
останется свободной.
Обобщённый принцип Дирихле
Другими словами – найдутся, как минимум, 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
Пусть 15 учеников будут «зайцы».
Решение.
Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12.
Так как 15 > 12, то, по принципу Дирихле, найдется,
как минимум, одна «клетка», в которой будут сидеть, по крайней мере, 2 «зайца».
Ответ: найдётся месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.
Другими словами – найдётся коврик без дырок
Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1 х 1 м.
Решение.
Ковриков - «клеток» - 9, а дырок - «голубей» - 8.
Так как 8 < 9, то, по принципу Дирихле, хотя бы одна «клетка» останется свободной.
Ответ: найдется коврик без дырок внутри.
Предположим, что каждый школьник знает не более 4 песен.
Решение.
Значит, 27 школьников знают не более 4 • 27 = 108 (песен)
Так как 108 < 109, то, по принципу Дирихле, найдется школьник, знающий не менее 5 песен
Ответ: найдется школьник, знающий не менее 5 песен.
Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников.
Решение.
Значит, во всех школах города 15 • 400 = 6000(школьников).
Так как 6000 < 6015, то, по принципу Дирихле, найдется школа, ученики которой не поместятся в этот зал
Ответ: найдется школа, в которой более 400 учеников.
Можно получить 4 «клетки», разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середины сторон.
Решение.
Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см.
1
2
3
4
4 треугольника будут у нас 4 «клетками»
5 точек - 5 «зайцев»
Так как 5 > 4, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна «клетка», в которой будут сидеть, по крайней мере, 2 «зайца».
Другими словами – найдётся равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее двух точек.
Выводы
В мешке лежат 10 белых и 10 чёрных шаров. Они тщательно перемешаны и неразличимы на ощупь. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них наверняка оказались два шара одного цвета.
Имеется 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать 2 числа, одно из которых делится на другое.
Проверка решений при следующей встрече
Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.
Email: Нажмите что бы посмотреть