Презентация, доклад по математике на тему Палиндромы в математике (5-7 классы)

Михайлова Тамара Александровна

натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

о числах палиндромах.

числа.

Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

их помощью некоторые математические задачи на смекалку олимпиадного характера.

и слева направо. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

121; 676; 1331; 4884; 94949; 1177711; 1178711 и т. д.

их сумму
Переверни полученное число
Найди их сумму
Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром

Пример:
96
96 + 69 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9.

Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97 

Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1. 

Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929
 
Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел. 

Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711
 

палиндромом, квадрат которого палиндром: 26² = 676

А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр, оказались, связаны хитрым образом:
(1 + 3)2 = 1 + 6 + 9,
(1 + 1 + 3)2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

или разности, произведения или частного чисел, результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Например:
42 + 35 = 53 + 24
41 – 32 = 23 – 14
63 ∙ 48 = 84 ∙ 36
82 : 41 = 28 : 14

не менялся в результате прочтения суммы справа налево, т.е.
x1y1 + x2y2 = y2x2 + y1x1

(10х2 + у2) = (10у2 + х2) + (10у1 + х1)
10х1 + у1 + 10х2 + у2 = 10у2 + х2 +10у1 + х1
10х1 - х1 + 10х2 - х2 = 10у1 - у1 + 10у2 - у2
9х1 + 9х2 = 9у1 + 9у2
9(х1 + х2) = 9(у1 + у2)
х1 + х2 = у1 + у2.

Вывод: Для решения этой задачи сумма первых цифр должна быть равна сумме их вторых цифр, т.е.
х1 + х2 = у1 + у2.

Примеры:
76 + 34 = 43 + 67
25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

 

не менялся в результате прочтения разности справа налево, т.е.
x1y1 - x2y2 = y2x2 - y1x1

(10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)
10х1 + у1 – 10х2 - у2 = 10у2 + х2 – 10у1 - х1
10х1 + х1 + у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2 + х2
11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2
11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)
х1 + у1 = х2 + у2

Вывод: Для решения этой задачи у таких чисел должны быть равны суммы цифр, т.е.
х1 + у1 = х2 + у2

Примеры:
46 – 28 = 82 – 64
52 –16 = 61 – 25 и т.д.
 

 

не менялся в результате прочтения частного справа налево, т.е.
x1y1 ∙ x2y2 = y2x2 ∙ y1x1

(10х2 + у2) = (10у2 + х2) ∙ (10у1 + х1)
100х1∙х2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + у1∙у2 = 100у1∙у2 + 10х1∙у2 + 10у1∙х2 + х1∙х2
99х1∙х2 = 99у1∙у2
х1∙х2 = у1∙у2

Вывод: Для решения этой задачи произведение первых цифр чисел равно произведению их вторых цифр, т.е.
х1∙х2 = у1∙у2
 
Примеры:
82 ∙ 14 = 41 ∙ 28
46 ∙ 32 = 23 ∙ 64 и т.д.

 

 

не менялся в результате прочтения чисел справа налево.

Для решения этой задачи произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр, т.е.
x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1
 
Примеры:
82 : 41 = 28 : 14
62 : 31 = 26 : 13
 

получаются другие:

Решение.
а) 212² - 121² = 44944 – 14641 = 30303;
б) 2·121·10201 = 2·11² ·101² = 22·112211 = 1111· 2222 = 2468642.

записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, разность всегда будет делиться на 9.

Решение.




Ответ: Данное произведение делится на 9.

цифрами, при делении которого на 9 получается в частном палиндромическое число, т.е. читающееся одинаково как слева направо, так и справа налево.

Вот первые результаты моей работы:
8 706 543 921 : 9 = 967 393 769
1 206 453 879 : 9 = 134 050 431
4 059 721 386 : 9 = 451 080 154
 
Таких 10-тизначных чисел с неповторяющимися цифрами более трёх миллионов: 9/10*10!=3 265 920

нежен, не жени меня
Я ужру буржуя!
Нам рак влетел в карман
Цени в себе свинец

4 в. н.э.

Это фраза "Sator Arepo tenet opera rotas", что означает "Сеятель Арепо с трудом держит колёса".

1 - палиндром

В химии:
НООССООН – формула щавелевой кислоты

своими свойствами простым числам.

Значит, я подтвердила гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.

В своей работе я рассмотрела формулы – палиндромы для суммы и разности, произведения и частного двузначных чисел и смогла их доказать, и показать их применение на практике.
 
 

121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321 

Числовой палиндром из единиц
Это интересно - Красота математики