Презентация, доклад по математике на тему Основная теорема алгебры. Разложение на множители. Теорема Виета.

степени от неизвестного x называют выражение
.

Коэффициенты этого многочлена –
произвольные действительные или комплексные числа, причем старший коэффициент .


Два многочлена и считаются равными в том случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной.


Помимо многочленов первой степени, квадратных, кубических и т.д., многочленом нулевой степени считают действительные или комплексные числа, отличные от нуля. Число нуль считается многочленом, степень которого неопределенна.


На множестве многочленов определены операции сложения, умножения, которые удовлетворяют свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.


Для умножения многочленов обратная операция – деление – не существует.

целые функции , , можно найти такие многочлены
и , что .
Если , то делится на . Многочлены и будут делителями этого многочлена. Если у многочленов и
нет общих делителей, то они взаимно простые.
Если , а c – некоторое число, то число
, полученное заменой переменной числом c, называется значением многочлена при x = c. Если , то x = c называется корнем многочлена.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на линейный многочлен равен значению многочлена при x = c.
Следствие. Число c тогда и только тогда будет корнем многочлена , если делится на .
Может оказаться, что многочлен делится не только на ,
но и на более высокие его степени, т.е. , где многочлен уже не делится на .

кратностью корня c, сам корень c –
k-кратным корнем многочлена .
Если , то говорят, что корень – простой.
Известно, что существует многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие действительных корней: – один из таких многочленов.

Основная теорема алгебры. Теорема Виета.
Теорема. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
Из основной теоремы следует, что после конечного числа шагов мы придем к разложению многочлена n-ой степени в произведение k линейных множителей.
(1)
где - действительные или комплексные корни.
Разложение (1) является для многочлена единственным с точностью до порядка сомножителей разложением такого типа.

степени , с любыми числовыми коэффициентами имеет корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его краткость.
Формула Виета. Пусть в разложении (1) многочлена ,
тогда .
Перемножая скобки, приведя подобные члены и сравнивая полученные коэффициенты с коэффициентами из (1), мы получим равенства, называемые формулами Виета, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни:


(2)




Если , то для применения формулы (2) необходимо сначала разделить все коэффициенты на .

все коэффициенты действительные числа и имеется комплексный корень , т.е.

Известно, что последнее равенство не нарушится, ели в нем все числа заменены на сопряженные, при этом все коэффициенты останутся без изменения , то есть .
Если комплексное число служит корнем многочлена
с действительными коэффициентами, то корнем для
будет и сопряженное число . Следовательно, многочлен
будет делиться на квадратный трехчлен , коэффициенты которого действительные числа. Таким образом, комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами представим, притом единственным способом (с точностью до порядков множителей), в виде произведения своего старшего коэффициента и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида , соответствующих его
действительным корням, и квадратных вида ,
соответствующих парам сопряженных комплексных корней.

корни данного многочлена » принято также формулировать следующим образом: «решить уравнение
».
Например, говоря о квадратном уравнении , мы тем самым ставим задачу найти корни квадратного трехчлена
Корни многочлена называются также корнями уравнения .
Алгебраическим уравнением n-ой степени называется уравнение

Теорема 1. Если a -корень многочлена, то этот многочлен делится на a.
Теорема 2. Пусть и – два произвольных многочлена. Число a в том и только в том случае является корнем уравнения , если оно является корнем хотя бы одного из уравнений , .
Из этой теоремы вытекает важное следствие. Если –
корень уравнения , то и нахождение
остальных корней уравнения сводится к решению уравнения
, степень которого .

является целыми и , то всякий целый корень уравнения является делителем свободного члена .
Эта теорема облегчает отыскание целых корней алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Надо взять свободный член и выписать все его делители. После этого надо проверить, какие из них являются корнями уравнения. Если же окажется, что ни один делитель не обращает многочлен в нуль, то уравнение целых корней не имеет.
Теорема 4. Каждое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n корней.

Задания для самостоятельной работы.
1. Ответить на вопросы:
Как разложить многочлен на множители? Как определить порядок многочлена? Можно ли поделить многочлен на многочлен?
2. Составить многочлен третьей степени, имеющий простые корни 1, 2 и 3.
3. Решите уравнение